狄拉克場

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量子場論中,狄拉克場用於描述自旋-1/2 的費米子,如:電子質子夸克等粒子。 並且狄拉克場遵守反正則對易關係, 數學上可以表示成有四的分量的旋量或一對兩個分量的外爾旋量。

雖然都用於描述自旋-1/2 的費米子,其與馬約拉那場不同。 狄拉克場描述的粒子存在反粒子,然而馬約拉那場描述的粒子即為自身的反粒子。

基本性質[编辑]

自由(沒有交互作用)的狄拉克場遵守反正則對易關係,數學上使用到反交換子 \{a,b\} = ab+ba 而非交換子 [a,b] = ab-ba。 其中的反對易關係就暗示了費米-狄拉克統計,並且也能推導出包立不相容原理:兩個相同的費米子不能處於相同的量子態。

數學公式[编辑]

狄拉克場表示成 \psi(x)。其自由場的運動方程式為狄拉克方程式

(i\gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m) \psi(x) = 0.\,

其中 \gamma^{\mu}\,γ矩陣(或稱作狄拉克矩陣),m 代表質量。 這個方程式最簡單的解為平面波 \psi_{1}(x) = u(p)e^{-ip.x}\,\psi_{2}(x) = v(p)e^{ip.x}\,。 平面波組成了一個 \psi(x) 的傅立葉基底。 我們能以此基底作展開,如下:

\psi(x) = \int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2E_{p}}}\sum_{s} \left(
a^{s}_{\textbf{p}}u^{s}(p)e^{-ip \cdot x}+b^{s \dagger}_{\textbf{p}}v^{s}(p)e^{ip \cdot x}\right).\,

a\,b\, 標示了旋量的指標,s\, 表示自旋, s = +1/2 或 s=−1/2 。 前面係數中的能量是為了勞倫茲積分的協變性。 由於 \psi(x)\, 可以視作一個算符,每個傅立葉基底的係數也必須是算符。 因此,a^{s}_{\textbf{p}} 以及 b^{s \dagger}_{\textbf{p}} 為作用子。 這些算符的性質可以從這些場的性質中得知。 \psi(x)\,\psi(y)^{\dagger} 遵守反對易關係:

\{\psi_a(\textbf{x}),\psi_b^{\dagger}(\textbf{y})\} = \delta^{(3)}(\textbf{x}-\textbf{y})\delta_{ab},

藉由將 \psi(x)\,\psi(y)\,作展開, 我們可以得到係數間的反對易關係:

\{a^{r}_{\textbf{p}},a^{s \dagger}_{\textbf{q}}\} = \{b^{r}_{\textbf{p}},b^{s \dagger}_{\textbf{q}}\}=(2 \pi)^{3} \delta^{3} (\textbf{p}-\textbf{q}) \delta^{rs},\,

於非相對論系統中的創造與湮滅算符相類似,從這個代數關係得到了這樣的物理詮釋: a^{s \dagger}_{\textbf{p}} 產生一個動量 \textbf{p}\, 自旋為 s 的粒子, 而 b^{r \dagger}_{\textbf{q}} 產生一個動量 \textbf{q}\, 自旋為 r 的反粒子。 因此,廣義的 \psi(x)\, 現在看作產生所有可能動量、自旋之粒子的總合, 而其共軛 \bar{\psi} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \psi^{\dagger} \gamma^{0} 與其相反,看作湮滅所有動量、自旋之反粒子的總合。

有了對於場及其共軛的瞭解,我們便能試著架構出勞侖茲協變性的場。 最單純的量為 \overline{\psi}\psi\, ,當中 \bar{\psi} = \psi^{\dagger} \gamma^{0}。 其他可能的勞侖茲協變性量 \overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi

由於這些量的線性組和同樣符合勞侖茲協變性, 很自然地得到了狄拉克場的拉格朗日密度, 並且其歐拉-拉格朗日方程必須回到狄拉克方程式

\mathcal{L}_{D} = \bar{\psi}(i\gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m)\psi\,

這樣的表示將指標隱藏了起來。完整的表示如下:

\mathcal{L}_{D} = \bar{\psi}_{a}(i\gamma^{\mu}_{ab} \partial_{\mu} - m\mathbb{I}_{ab})\psi_{b}\,

\psi(x) ,我們可以建構出狄拉克場的費曼傳播子

 D_{F}(x-y) = \langle 0| T(\psi(x) \bar{\psi}(y))| 0 \rangle

我們定義狄拉克場的時間排序如下,當中的負號來自於其反對易關係的性質:

 T(\psi(x) \bar{\psi}(y)) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \theta(x^{0}-y^{0}) \psi(x) \bar{\psi}(y)  - \theta(y^{0}-x^{0})\bar\psi(y) \psi(x) .

對上列的式子作平面波的綻開,得到:

 D_{F}(x-y) = \int \frac{d^{4}p}{(2\pi)^{4}} \frac{i(p\!\!\!/ + m)}{p^{2}-m^{2}+i \epsilon}e^{-ip \cdot (x-y)}

在此我們用上了費曼斜線符號。這個式子相當合理,因為係數

\frac{i(p\!\!\!/ + m)}{p^{2}-m^{2}}

即為狄拉克方程式中作用在 \psi(x)\, 的相反算符。 純量場的費曼傳播子也具有相同的性質。 由於所有合理的觀測量(例如能量、電荷、粒子數等)都由偶數的狄拉克場所構成,兩個觀測量的對易關係在光錐外為零。 就如同我們從量子力學中學習到的,兩的可交換的觀察量可以同時被觀測。 因此,我們確定了狄拉克場的勞侖茲協變性,並維持了因果律

而更複雜、包含交互作用的場論(湯川理論(Yukawa theory)或量子電動力學)同樣可以微擾或非為擾方法作分析。

在粒子物理標準模型中,狄拉克場扮演很重要的要素。

參閱[编辑]

參考資料[编辑]

  • Edwards, D. (1981). The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories, International J. of Theor. Phys., Vol. 20, No. 7.
  • Peskin, M and Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press. (See pages 35-63.)
  • Srednicki, Mark (2007). Quantum Field Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0521864497.
  • Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields, (3 volumes) Cambridge University Press.