狄拉克符号

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狄拉克符号狄拉克標記英语Dirac notation)是量子力学中广泛应用于描述量子态的一套标准符号系统。在这套系统中,每一个量子态都被描述为希尔伯特空间中的態向量,定义为右矢ket):|\psi\rangle;每一个右矢的共軛轉置定义为其左矢bra):\langle\psi|。这是1939年狄拉克将「bracket」(括号)这个词拆开后所造的[1]。在中國方面,一些旧有的教科书和文献中也将其译为“刁矢”和“刃矢”,现已弃用。

矩陣表示[编辑]

右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶矩阵表示为:

|\psi\rangle = \begin{pmatrix}
                     \psi_1 \\
                     \psi_2 \\
                     \psi_3 \\
                     \psi_4 \\  
                     \vdots \\
                     \psi_N \\
                     \end{pmatrix}
\langle\psi| = \begin{pmatrix}\psi_1^*,& \psi_2^*,& \psi_3^*,& \psi_4^*,& \cdots ,& \psi_N^* \end{pmatrix}

不同的两个态矢量的内积则由一个括号来表示:\langle\phi|\psi\rangle,当狄拉克符号作用于两个基矢时,所得值为:\langle e_i|e_j\rangle = \delta_{ij}\delta_{ij}克罗内克函數

相同的态矢量内积为:\langle\psi|\psi\rangle = \sum_i |\psi_i|^2

性質[编辑]

因為每個右矢是一複數希爾伯特空間中的一個向量,而每個右矢-左矢關係是內積,而直接地可以得到如下的操作方式:

  • 給定任何左矢\langle\phi|、右矢|\psi_1\rangle以及|\psi_2\rangle,還有複數c1c2,則既然左矢是線性泛函,根據線性泛函的加法與純量乘法的定義,
\langle\phi| \; \bigg( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle
  • 給定任何右矢|\psi\rangle、左矢\langle\phi_1|以及\langle\phi_2|,還有複數c1c2,則既然右矢是線性泛函
\bigg(c_1 \langle\phi_1| + c_2 \langle\phi_2|\bigg) \; |\psi\rangle = c_1 \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2\langle\phi_2|\psi\rangle
  • 給定任何右矢|\psi_1\rangle|\psi_2\rangle,還有複數c1c2,根據內積的性質(其中c*代表c的複數共軛),

c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|
對偶。
  • 給定任何左矢\langle\phi|及右矢|\psi\rangle,內積的一個公理性質指出
\langle\phi|\psi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^*

參考文獻[编辑]

  1. ^ PAM Dirac. A new notation for quantum mechanics. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1939: (416–418). doi:10.1017/S0305004100021162.