狄拉克符号

狄拉克符号或狄拉克標記（英语：Dirac notation）是量子力学中广泛应用于描述量子态的一套标准符号系统。在这套系统中，每一个量子态都被描述为希尔伯特空间中的態向量，定义为右矢(ket)：$|\psi\rangle$；每一个右矢的共軛轉置定义为其左矢(bra)：$\langle\psi|$。这是狄拉克将bracket（括号）这个词拆开后所造的。在中國方面，一些旧有的教科书和文献中也将其译为“刁矢”和“刃矢”，现已弃用。

矩陣表示

右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶矩阵表示为：

$|\psi\rangle = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \\ \psi_4 \\ \vdots \\ \psi_N \\ \end{pmatrix}$

$\langle\psi| = \begin{pmatrix}\psi_1^*,& \psi_2^*,& \psi_3^*,& \psi_4^*,& \cdots ,& \psi_N^* \end{pmatrix}$

不同的两个态矢量的内积则由一个括号来表示：$\langle\phi|\psi\rangle$，当狄拉克符号作用于两个基矢时，所得值为：$\langle e_i|e_j\rangle = \delta_{ij}$ （$\delta_{ij}$为克罗内克函數）

相同的态矢量内积为：$\langle\psi|\psi\rangle = \sum_i |\psi_i|^2$。

性質

因為每個右矢是一複數希爾伯特空間中的一個向量，而每個右矢-左矢關係是內積，而直接地可以得到如下的操作方式：

• 給定任何左矢$\langle\phi|$、右矢$|\psi_1\rangle$以及$|\psi_2\rangle$，還有複數c₁及c₂，則既然左矢是線性泛函，根據線性泛函的加法與純量乘法的定義，

$\langle\phi| \; \bigg( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle$。

• 給定任何右矢$|\psi\rangle$、左矢$\langle\phi_1|$以及$\langle\phi_2|$，還有複數c₁及c₂，則既然右矢是線性泛函，

$\bigg(c_1 \langle\phi_1| + c_2 \langle\phi_2|\bigg) \; |\psi\rangle = c_1 \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2\langle\phi_2|\psi\rangle$。

• 給定任何右矢$|\psi_1\rangle$及$|\psi_2\rangle$，還有複數c₁及c₂，根據內積的性質（其中c*代表c的複數共軛），

$c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle$與$c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|$對偶。

• 給定任何左矢$\langle\phi|$及右矢$|\psi\rangle$，內積的一個公理性質指出

$\langle\phi|\psi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^*$。