玫瑰线

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七个瓣的玫瑰线
八个瓣的玫瑰线(k=4)
各种各样的玫瑰线

玫瑰线极坐标系中的正弦曲线,可以用以下的方程来表示:

\!\,r=\cos(k\theta).

如果k是偶数,玫瑰线就有2k个瓣,如果k是奇数,则有k个瓣。

如果k有理数,玫瑰线就是封闭的,其长度有限。如果k无理数,则曲线不是封闭的,长度为无穷大。在这种情况下,玫瑰线的图形便形成了一个稠密集

由于对于所有的\theta,都有:

\sin(k \theta) = \cos\left( k \theta - \frac{\pi}{2} \right) = \cos\left( k \left( \theta-\frac{\pi}{2k} \right) \right)

因此由以下方程所确定的玫瑰线

\,r=\sin(k\theta)\,r = \cos(k\theta)

除了角度的不同以外,是全等的。

面积[编辑]

由以下方程所确定的玫瑰线

r=a \cos (k\theta)\,

其中k是正整数,具有面积


    \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\pi + \frac{\sin(4k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{2}

如果k是偶数;


    \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{4}

如果k是奇数。

相同的公式也适用于以下形式的玫瑰线:

r=a \sin (k\theta)\,

参见[编辑]

外部链接[编辑]