环绕数

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这样 (2,4)-环面链环的两条曲线的环绕数是 4。

数学中,环绕数linking number)是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上,环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数,但有可能取正数或负数,取决于这两条曲线的定向

环绕数由高斯环绕积分的形式引入。它在纽结理论代数拓扑微分几何的研究中是重要的对象,并在数学科学中有许多应用,包括量子力学电磁学以及 DNA超螺旋的研究。

定义[编辑]

空间中任何两条闭曲线都恰好可以移动成如下标准位置之一。这决定了环绕数:

\cdots Linking Number -2.svg Linking Number -1.svg Linking Number 0.svg
环绕数 -2 环绕数 -1 环绕数 0
Linking Number 1.svg Linking Number 2.svg Linking Number 3.svg \cdots
环绕数 1 环绕数 2 环绕数 3

每条曲线在移动过程中可以穿过自身,但这两条曲线保持互相分离。

计算环绕数[编辑]

六个正交叉与两个负交叉,这两条曲线的环绕数为 2。

存在一个算法计算出一个链环图表的环绕数。按如下法则将每个交叉标记为“正”或“负” [1]

Link Crossings.svg

正交叉数总数减去负交叉数总数等于环绕数的两倍,即

环绕数 = \frac{n_1 + n_2 - n_3 - n_4}{2},\,

这里 n1, n2, n3, n4 分别表示四类交叉数的个数。两个和 n_1 + n_3\,\!n_2 + n_4\,\! 总相等[2]。这样得到了如下另外的公式

环绕数=\,n_1-n_4\,=\,n_2-n_3.\,

注意到 n_1-n_4 只涉及到蓝曲线被红曲线下交叉,而 n_2-n_3 只涉及到上交叉。

性质与例子[编辑]

怀特黑德链环两条曲线环绕数为零。
  • 任何两条没有链接起来的曲线相交数为零。但环绕数为零的两条曲线仍可能是链接起来的(例如右图的怀特黑德链环Whitehead link))。
  • 逆转任何一条曲线的定向,环绕数改变符号;但两条曲线同时逆转定向,环绕数不变。
  • 环绕数具有手征性:取一个链环的镜像,环绕数改变符号。我们对正环绕数的约定基于右手法则
  • x-y 平面上一条定向曲线的卷绕数等于它与 z-轴(将 z-轴想象为三维球面中一条闭曲线)的环绕数。
  • 更一般地,如果其中一条曲线是简单的,则这个分支的第一同调群同构于整数 Z。在此情形,环绕数由另一条曲线的同调类决定。
  • 物理学中,环绕数是拓扑量子数之一例,它与量子纠缠有关。

高斯的积分定义[编辑]

给定两条不交可微曲线 \gamma_1, \gamma_2 \colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^3,定义从环面单位球面高斯映射 \Gamma

\Gamma(s,t) = \frac{\gamma_1(s) - \gamma_2(t)}{|\gamma_1(s) - \gamma_2(t)|}.\,

取单位球面上一点 v,从而链环的正交投影到垂直于 v 的平面给出一个链环图表。观察到点 (s, t) 在高斯映射下映为 v 对应于链环图表中一个交叉,这里 \gamma_1\gamma_2 上。并且 (s, t) 的一个邻域在高斯映射下映为 v 的一个邻域,保持或逆转定向取决于交叉的符号。从而为了计算这个对应于 v 的链环图表的环绕数,只需数高斯映射覆盖 v 的带符号次数。由于 v 是一个正则值,这恰是高斯映射的度数(即 Γ 的盖住球面的带符号次数)。环绕数的同痕不变性自动由度数在同伦下不变得到。任何其它正则值将得到相同的数,所以环绕数与任何特定的链环图表无关。

曲线 γ1γ2 的环绕数的这种表述给出了用二重线积分表示的一个明确公式,即高斯环绕积分

环绕数{}\,=\,\frac{1}{4\pi}
\oint_{\gamma_1}\oint_{\gamma_2}
\frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|^3}
\cdot (d\mathbf{r}_1 \times d\mathbf{r}_2).

这个积分求出了高斯映射像的全部带符号面积(被积函数是 Γ 的雅可比矩阵),然后除以球面的面积(等于 4π)。

推广[编辑]

  • 就像三维中环绕的闭曲线,任何两个维数为 mn闭流形,可能在 m + n + 1欧几里得空间中环绕起来。任何这样链环有一个相伴的高斯映射,其度数是环绕数的推广。
  • 任何标架纽结framed knot)有一个自环绕数,得自计算纽结 C 与将曲线 C 中的点沿着标架向量稍微移动得到一条新曲线的环绕数。由铅直移动(沿着黑板标架)得到的自环绕数称为考夫曼自环绕数Kauffman's self-linking number)。

另见[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ 这与计算一个纽结翻滚数writhe)时使用的标记是一致的,不过此情形我们只需标记涉及两条曲线的交叉。
  2. ^ 如果其中一条曲线是简单的,这由若尔当曲线定理得到。例如,如果蓝曲线是简单的,则 n1 + n3n2 + n4 表示红曲线向内与向外穿过蓝曲线所围区域的次数。

参考文献[编辑]