环面

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一个环面。

几何[编辑]

几何上,一个环面是一个冬甩形状的旋转曲面,由一个绕一个和该圆共面的一个轴回转所生成。球面可以视为环面的特殊情况,也就是旋转轴是该圆的直径时。若转轴和圆不相交,圆面中间有一个洞,就像一个圈形面包圈,一个呼啦圈,或者一个充了气的轮胎。另一个情况,也就是轴是圆的一根的时候,就产生一个挤扁了的球面,就像一个圆的座垫那样。英文Torus曾是拉丁文的这种形状的座垫。

圆环面可以参数式地定义为:

x(u, v) =  (R + r\cos{v}) \cos{u} \,
y(u, v) =  (R + r \cos{v}) \sin{u} \,
z(u, v) = r \sin{v} \,

其中

u, v ∈ [0, 2π],
R是管子的中心到画面的中心的距离,
r是圆管的半径。

直角坐标系中的关于z-方位角对称的环面方程是

\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2

该圆环面的表面积和内部体积如下

A = 4\pi^2 Rr = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,
V = 2\pi^2R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,

根据更一般的定义,环面的生成元不必是圆,而可以是椭圆或任何圆锥曲线

拓扑[编辑]

一个环面是两个圆的乘积。
将一个有小洞的环面翻转。

拓扑学上,一个环面是一个定义为两个的闭合曲面S1 × S1。 上述曲面,若采用R3诱导的相对拓扑,则同胚于一个拓扑环面,只要它不和自己的轴相交。

该环面也可用欧几里得平面的一个商空间来表述,这是通过如下的等价关系来完成的

(x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1)

或者等价地说,作为单位正方形将对边粘合的商空间,表述为基本多边形 ABA^{-1}B^{-1}

环面的基本群是圆的基本群和自身的直积

\pi_1(\mathbb{T}^2) = \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}

直观地讲,这意味着一个先绕着环面的“洞”(譬如,沿着某个纬度方向的圆)然后绕着环面“实体”(譬如,沿着特定经度方向的圆)的闭路径可以变形成为先绕实体后绕空心的路径。所以,严格的经度方向和严格的纬度方向的路径是可交换的。这可以想象成为两个鞋带互相穿过然后解开再系上。

环面的第一同调群和基本群同构(因为基本群是交换群)。

n维环面[编辑]

环面很容易推广到任意维。n维环面可以定义为n个圆的乘积:

\mathbb{T}^n = S^1 \times S^1 \times \cdots \times S^1

上面所述的环面就是2维环面。1维环面就是圆。3维环面很难描述。和2维环面一样,n维环面可以表述为Rn在各个坐标方向整数平移下的商空间。也即,n维环面是Rn模(modulo)整数格点Zn群作用(该作用就是向量和)。等价地说,n维环面是n立方体把相对的面两两粘合起来得到的空间。

n维环是n紧致流形的一个例子。它也是紧致可交换李群的一个例子。这是因为单位圆是一个紧致可交换李群(如果把它作为定义了乘法的单位长度复数来看)。环面上的群乘法可以定义为各坐标分别相乘。

环面群在紧致李群理论中有重要的作用。部分原因在于所有紧致李群中总是存在一个极大环面;也就是最大可能维度的闭子群环面。

n维环面的基本群是一个n自由可交换群n维环面的k同调群nk阶的自由可交换群。因此可以推出n维环面的欧拉示性数 是0。上同调环H·(Tn,Z)可以等同为Z- Zn上的外代数,其生成元为n非平凡闭链的对偶。

环面着色[编辑]

如果把环面分成若干区域,那么总是可以用最多7种颜色来着色,使得每对相邻区域有不同的颜色。(这和四色问题不同。)在下面的例子中,环面被分为7个区域,两两相邻,说明7色是必须的: Torus-with-seven-colours.png

参看[编辑]

外部链接[编辑]