球坐標系

用球坐標 $(r,\ \theta,\ \phi)$ 來表示一個點的位置

在數學裏，球坐標系（英语：Spherical coordinate system）是一種利用球坐標 $(r,\ \theta,\ \phi)$ 表示一個點 p 在三維空間的位置的三維正交坐標系。

右圖顯示了球坐標的幾何意義：原點與點 P 之間的徑向距離 $r$ ，原點到點 P 的連線與正 z-軸之間的天頂角 $\theta$ ，以及原點到點 P 的連線，在 xy-平面的投影線，與正 x-軸之間的方位角 $\phi$ 。

標記

在學術界內，關於球坐標系的標記有好幾個不同的約定。按照國際標準化組織建立的約定 （ISO 31-11） ，徑向距離、天頂角、方位角，分別標記為 $(r,\ \theta,\ \phi)$ 。這種標記在世界各地有許多使用者。通常，物理界的學者也採用這種標記。而在數學界，天頂角與方位角的標記正好相反：$\phi$ 被用來代表天頂角，$\theta$ 被用來代表方位角。數學界的球坐標標記是 $(\rho,\ \phi,\ \theta)$ 。這種標記的優點是較廣的相容性；在二維極坐標系與三維圓柱坐標系裏，$\rho$ 都同樣地代表徑向距離，$\theta$ 也都同樣地代表方位角。本條目採用的是物理標記約定。

定義

球坐標系的幾個坐標曲面。紅色圓球面的 $r=2$ 。藍色圓錐面的 $\theta=45^{\circ}$ 。黃色半平面的 $\phi= - 60^{\circ}$ （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 $\left|\phi\right|$ ）。 z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示）。直角坐標大約為 $(0.707, -1.225, 1.414)$ 。

假設 P 點在三維空間的位置的三個坐標是 $(r,\ \theta,\ \phi)$。那麼， 0 ≤ r 是從原點到 P 點的距離， 0 ≤ θ ≤ π 是從原點到 P 點的連線與正 z-軸的夾角， 0 ≤ φ < 2π 是從原點到 P 點的連線在 xy-平面的投影線，與正 x-軸的夾角。

這裏，$\theta$ 代表天頂角，$\phi$ 代表方位角。 當 $r=0$ 時，$\theta$ 與 $\phi$ 都一起失去意義。當 $\theta = 0$ 或 $\theta = \pi$ 時，$\phi$ 失去意義。

如想要用球坐標，找出點 P 在空間的地點，可按照以下步驟：

1. 從原點往正 z-軸移動 $r$ 單位，
2. 用右手定則，大拇指往 y-軸指，x-軸與 z-軸朝其他手指的指向旋轉 $\theta$ 角值，
3. 用右手定則，大拇指往 z-軸指，x-軸與 y-軸朝其他手指的指向旋轉 $\phi$ 角值。

坐標系變換

三維空間裏，有各種各樣的坐標系。球坐標系只是其中一種。球坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。

直角坐標系

使用以下方程式，可以從球坐標變換為直角坐標：

${r}=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ 、

${\theta}=\arctan \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \right)=\arccos \left( {\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \right)$ 、

${\phi}=\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right)$ 。

特別注意，必須依照 $(x,\ y)$ 所處的象限來計算正確的反正切值。 也可以使用arccos来计算方位角phi的值,这样在x为0的情况下比较方便,x为0时arctan(y/x)无效.

反過來，可以從直角坐標變換為球坐標：

$x=r \sin\theta \cos\phi$ 、

$y=r \sin\theta \sin\phi$ 、

$z=r \cos\theta$ 。

地理坐標系

地理坐標系是球坐標系的第二個版本。它主要是用在地理學。通常在地理學裏，$\rho\,$ 會被用來表示高度，或者完全不被使用。

緯度的定義域是 $0^\circ \le \delta \le 90^\circ$ ，南緯或北緯。使用以下方程式，可從緯度 $\delta$ 變換為天頂角：

1. $\theta \le 90^\circ$ ：北緯，$\delta=90^\circ - \theta$ ，
2. $\theta \ge 90^\circ$ ：南緯，$\delta=\theta - 90^\circ$ 。

經度 $\lambda$ 的定義域是 $- 180^\circ \le \lambda \le 180^\circ$ 。設定經過倫敦格林維治天文台的子午線為經度 $0^\circ$ ，往東或往西 $\lambda$ 度。使用以下方程式，可從經度變換為方位角

1. $\phi\le 180^\circ$ ：往東，$\lambda=\phi$ ，
2. $\phi\ge 180^\circ$ ：往西，$\lambda=360^\circ - \phi$ 。

圓柱坐標系

用圓柱坐標來表示一個點的位置

圓柱坐標系是極坐標系在三維空間往 z-軸的延伸。 $z$ 坐標用來表示高度。使用以下方程式，可以從球坐標變換為圓柱坐標 $(\rho,\ \phi,\ z)$ ：

$r=\sqrt{\rho^2+z^2}$ 、

$\theta=\arctan\frac{\rho}{z}$ 、

$\phi=\phi$ 。

反過來，可以從圓柱坐標變換為球坐標：

$\rho=r\sin\theta$ 、

$\phi=\phi$ 、

$z=r\cos\theta$ 。

標度因子

球坐標系的標度因子分別為：

$h_{r} =1$ 、

$h_{\theta} =r$ 、

$h_{\phi} =r\sin\theta$ 。

無窮小體積元素是

$dV =r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla^2 \Phi={1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\!\left(r^2 {\partial \Phi \over \partial r}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial \Phi \over \partial \theta}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 \Phi \over \partial \phi^2}$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ 、$\nabla \times \mathbf{F}$ ，都可以用 $(r,\ \theta,\ \phi)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

球坐标系下的积分和微分公式

假定 $\theta$ 是從原點到 P 點的連線與正 z-軸的夾角

• 线元素是一个从 $(r,\theta,\phi)$ 到 $(r+\mathrm{d}r, \,\theta+\mathrm{d}\theta, \, \phi+\mathrm{d}\phi)$ 的无穷小位移,表示为公式：

$\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r\,\boldsymbol{\hat r} + r\,\mathrm{d}\theta \,\boldsymbol{\hat\theta } + r \sin{\theta} \mathrm{d}\phi\,\mathbf{\boldsymbol{\hat \phi}}$ ；

其中的$\boldsymbol{\hat r},\boldsymbol{\hat\theta },\boldsymbol{\hat \phi}$ 是在 $r,\theta,\phi$ 的各自的增加的方向上的单位矢量。

• 面积元素1：在球面上，固定半径，天顶角从 $\theta$ 到 $\theta+\mathrm{d}\theta$ ，方位角从 $\phi$ 到 $\phi+\mathrm{d}\phi$ 变化，公式为：

$\mathrm{d}S_r=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$ 。

• 面积元素2：固定天顶角 $\theta$ ，其他两个变量变化，則公式为：

$\mathrm{d}S_\theta=r\,\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\phi$ 。

• 面积元素3：固定方位角 $\phi$ ，其他两个变量变化，則公式为：

$\mathrm{d}S_\phi=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 。

• 体积元素，徑向坐標从 $r$ 到 $r+\mathrm{d}r$ ，天顶角从$\theta$到 $\theta+\mathrm{d}\theta$，并且方位角从 $\phi$ 到 $\phi+\mathrm{d}\phi$ 的公式为：

$\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$ 。

• 梯度公式：

$\nabla f={\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi}$ 。

• 散度公式：

$\nabla\cdot \mathbf{A} = \frac{1}{r^2}{\partial \over \partial r}\left( r^2 A_r \right) + \frac{1}{r \sin\theta}{\partial \over \partial\theta} \left( \sin\theta A_\theta \right) + \frac{1}{r \sin \theta} {\partial A_\phi \over \partial \phi}$ 。

• 旋度公式：

$\nabla \times \mathbf{A} = \displaystyle{1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\phi\sin\theta \right) - {\partial A_\theta \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat r} + \displaystyle{1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi} - {\partial \over \partial r} \left( r A_\phi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta} + \displaystyle{1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right) - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \phi}$ 。

• 拉普拉斯算子是

$\nabla^2 f={1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\!\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}$ 。

應用

地理坐標系用兩個角值，緯度與經度，來表示地球表面的地點。正如二維直角坐標系專精在平面上，二維球坐標系可以很簡易的設定圓球表面上的點的位置。在這裏，我們認定這圓球是個單位圓球；其半徑是１。通常我們可以忽略這圓球的半徑。在解析旋轉矩陣問題上，這方法是非常有用的。

球坐標系適用於分析一個對稱於點的系統。舉例而言，一個圓球，其直角坐標方程式為 $x^2+y^2+z^2=c^2$ ，可以簡易的用球坐標系 $\rho =c$ 來表示。

當求解三重積分時，如果定義域為圓球，則面積元素是

$dS=r^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ ；

體積元素是

$dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$ 。

用來描述與分析擁有球狀對稱性質的物理問題，最自然的坐標系，莫非是球坐標系。例如，一個具有質量或電荷的圓球形位勢場。兩種重要的偏微分方程式, 拉普拉斯方程 與亥姆霍茲方程，在球坐標裏，都可以成功的使用分離變數法求得解答。這種方程式在角部分的解答，皆呈球諧函數的形式。

球坐標的概念，延伸至高維空間，則稱為超球坐標 (n-sphere) 。