球坐標系

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用球坐標 (r,\ \theta,\ \phi) 來表示一個點的位置

數學裏,球坐標系英语Spherical coordinate system)是一種利用球坐標 (r,\ \theta,\ \phi) 表示一個點 p 在三維空間的位置的三維正交坐標系

右圖顯示了球坐標的幾何意義:原點與點 P 之間的徑向距離 r ,原點到點 P 的連線與正 z-軸之間的天頂角 \theta ,以及原點到點 P 的連線,在 xy-平面的投影線,與正 x-軸之間的方位角 \phi

標記[编辑]

在學術界內,關於球坐標系的標記有好幾個不同的約定。按照國際標準化組織建立的約定 (ISO 31-11) ,徑向距離、天頂角、方位角,分別標記為 (r,\ \theta,\ \phi) 。這種標記在世界各地有許多使用者。通常,物理界的學者也採用這種標記。而在數學界,天頂角與方位角的標記正好相反:\phi 被用來代表天頂角,\theta 被用來代表方位角。數學界的球坐標標記是 (\rho,\ \phi,\ \theta) 。這種標記的優點是較廣的相容性;在二維極坐標系與三維圓柱坐標系裏,\rho 都同樣地代表徑向距離,\theta 也都同樣地代表方位角。本條目採用的是物理標記約定。

定義[编辑]

球坐標系的幾個坐標曲面。紅色圓球面的 r=2 。藍色圓錐面的 \theta=45^{\circ} 。黃色半平面的 \phi= - 60^{\circ} (黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 \left|\phi\right| )。 z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P (以黑色的圓球表示)。直角坐標大約為 (0.707, -1.225, 1.414)

假設 P 點在三維空間的位置的三個坐標是 (r,\ \theta,\ \phi)。那麼, 0 ≤ r 是從原點到 P 點的距離, 0 ≤ θ ≤ π 是從原點到 P 點的連線與正 z-軸的夾角, 0 ≤ φ < 2π 是從原點到 P 點的連線在 xy-平面的投影線,與正 x-軸的夾角。

這裏,\theta 代表天頂角,\phi 代表方位角。 當 r=0 時,\theta\phi 都一起失去意義。當 \theta = 0\theta = \pi 時,\phi 失去意義。

如想要用球坐標,找出點 P 在空間的地點,可按照以下步驟:

  1. 從原點往正 z-軸移動 r 單位,
  2. 右手定則,大拇指往 y-軸指,x-軸與 z-軸朝其他手指的指向旋轉 \theta 角值,
  3. 用右手定則,大拇指往 z-軸指,x-軸與 y-軸朝其他手指的指向旋轉 \phi 角值。

坐標系變換[编辑]

三維空間裏,有各種各樣的坐標系。球坐標系只是其中一種。球坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。

直角坐標系[编辑]

使用以下方程式,可以從球坐標變換為直角坐標:

{r}=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
{\theta}=\arctan \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \right)=\arccos \left( {\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \right)
{\phi}=\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right)

特別注意,必須依照 (x,\ y) 所處的象限來計算正確的反正切值。 也可以使用arccos来计算方位角phi的值,这样在x为0的情况下比较方便,x为0时arctan(y/x)无效.

反過來,可以從直角坐標變換為球坐標:

x=r \sin\theta \cos\phi
y=r \sin\theta \sin\phi
z=r \cos\theta

地理坐標系[编辑]

地理坐標系是球坐標系的第二個版本。它主要是用在地理學。通常在地理學裏,\rho\, 會被用來表示高度,或者完全不被使用。

緯度的定義域是  0^\circ \le \delta \le 90^\circ ,南緯或北緯。使用以下方程式,可從緯度 \delta 變換為天頂角:

  1. \theta \le 90^\circ :北緯,\delta=90^\circ - \theta
  2. \theta \ge 90^\circ :南緯,\delta=\theta - 90^\circ

經度 \lambda 的定義域是  - 180^\circ \le \lambda \le 180^\circ 。設定經過倫敦格林維治天文台子午線為經度 0^\circ ,往東或往西 \lambda 度。使用以下方程式,可從經度變換為方位角

  1. \phi\le 180^\circ :往東,\lambda=\phi
  2. \phi\ge 180^\circ :往西,\lambda=360^\circ - \phi

圓柱坐標系[编辑]

用圓柱坐標來表示一個點的位置

圓柱坐標系是極坐標系在三維空間往 z-軸的延伸。 z 坐標用來表示高度。使用以下方程式,可以從球坐標變換為圓柱坐標 (\rho,\ \phi,\ z)

r=\sqrt{\rho^2+z^2}
\theta=\arctan\frac{\rho}{z}
\phi=\phi

反過來,可以從圓柱坐標變換為球坐標:

\rho=r\sin\theta
\phi=\phi
z=r\cos\theta

標度因子[编辑]

球坐標系的標度因子分別為:

h_{r} =1
h_{\theta} =r
h_{\phi} =r\sin\theta

無窮小體積元素是

dV =r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi

拉普拉斯算子

\nabla^2 \Phi={1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\!\left(r^2 {\partial \Phi \over \partial r}\right) 
  \!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial \Phi \over \partial \theta}\right) 
  \!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 \Phi \over \partial \phi^2}


其它微分算子,像 \nabla \cdot \mathbf{F}\nabla \times \mathbf{F} ,都可以用 (r,\ \theta,\ \phi) 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

球坐标系下的积分和微分公式[编辑]

假定 \theta 是從原點到 P 點的連線與正 z-軸的夾角

  • 线元素是一个从 (r,\theta,\phi)(r+\mathrm{d}r, \,\theta+\mathrm{d}\theta, \, \phi+\mathrm{d}\phi) 的无穷小位移,表示为公式:
\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r\,\boldsymbol{\hat r} + r\,\mathrm{d}\theta \,\boldsymbol{\hat\theta } + r \sin{\theta} \mathrm{d}\phi\,\mathbf{\boldsymbol{\hat \phi}}

其中的\boldsymbol{\hat r},\boldsymbol{\hat\theta },\boldsymbol{\hat \phi} 是在 r,\theta,\phi 的各自的增加的方向上的单位矢量

  • 面积元素1:在球面上,固定半径,天顶角从 \theta\theta+\mathrm{d}\theta ,方位角从 \phi\phi+\mathrm{d}\phi 变化,公式为:
\mathrm{d}S_r=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi
  • 面积元素2:固定天顶角 \theta ,其他两个变量变化,則公式为:
\mathrm{d}S_\theta=r\,\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\phi
  • 面积元素3:固定方位角 \phi ,其他两个变量变化,則公式为:
\mathrm{d}S_\phi=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta
  • 体积元素,徑向坐標从 rr+\mathrm{d}r ,天顶角从\theta\theta+\mathrm{d}\theta,并且方位角从 \phi\phi+\mathrm{d}\phi 的公式为:
\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi
\nabla f={\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} 
  + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta} 
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi}
\nabla\cdot \mathbf{A} = \frac{1}{r^2}{\partial \over \partial r}\left( r^2 A_r \right) + \frac{1}{r \sin\theta}{\partial \over \partial\theta} \left( \sin\theta A_\theta \right) + \frac{1}{r \sin \theta} {\partial A_\phi \over \partial \phi}
\nabla \times \mathbf{A} = \displaystyle{1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\phi\sin\theta \right)
    - {\partial A_\theta \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat r} + 
  \displaystyle{1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi} 
    - {\partial \over \partial r} \left( r A_\phi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta} +
  \displaystyle{1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right)
    - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \phi}
\nabla^2 f={1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\!\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) 
  \!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) 
  \!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}

應用[编辑]

地理坐標系用兩個角值,緯度與經度,來表示地球表面的地點。正如二維直角坐標系專精在平面上,二維球坐標系可以很簡易的設定圓球表面上的點的位置。在這裏,我們認定這圓球是個單位圓球;其半徑是1。通常我們可以忽略這圓球的半徑。在解析旋轉矩陣問題上,這方法是非常有用的。

球坐標系適用於分析一個對稱於點的系統。舉例而言,一個圓球,其直角坐標方程式為 x^2+y^2+z^2=c^2 ,可以簡易的用球坐標系 \rho =c 來表示。

當求解三重積分時,如果定義域為圓球,則面積元素是

dS=r^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi

體積元素是

dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi

用來描述與分析擁有球狀對稱性質的物理問題,最自然的坐標系,莫非是球坐標系。例如,一個具有質量或電荷的圓球形位勢場。兩種重要的偏微分方程式, 拉普拉斯方程亥姆霍茲方程,在球坐標裏,都可以成功的使用分離變數法求得解答。這種方程式在角部分的解答,皆呈球諧函數的形式。

球坐標的概念,延伸至高維空間,則稱為超球坐標 (n-sphere) 。

參閱[编辑]