球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式的解。在量子力学等领域广泛应用。
球坐标下的拉普拉斯方程是:
設定 。代入拉普拉斯方程,用分离变量法得到:
角度部分可以写成三角函数和伴随勒让德多项式的乘积:
这里的 称为 和 的球谐函数, 为伴随勒让德函数, N 是归一化因子。
經過歸一化後,球谐函数表達為
其中, 是虛數單位, 是伴隨勒讓德多項式,用方程式定義為
而 是 階勒讓德多項式,可用羅德里格公式表示為: