球谐函数

球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式的解。在量子力学等领域广泛应用。

球坐标下的拉普拉斯方程是:

$\nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0\,\!$ 。

實值的球諧函數 Y_lm，l = 0 到 4 （由上至下），m=0 到 4（由左至右）。負數階球諧函數 Y_l,-m 可由正數階函數對 z-軸轉 90/m 度得到。

設定 $f(r,\ \theta,\ \varphi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi)\,\!$ 。代入拉普拉斯方程，用分离变量法得到:

$\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d\varphi^2} = -m^2\,\!$ ，

$l(l+1)\sin ^2(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left [ \sin(\theta) \frac{d\Theta}{d\theta} \right ] = m^2\,\!$ 。

角度部分可以写成三角函数和伴随勒让德多项式的乘积：

$Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = N \, e^{i m \varphi } \, P_\ell^m (\cos{\theta} )\,\!$ ；

这里的 $Y_\ell^m\,\!$ 称为 $\ell\,\!$ 和 $m\,\!$ 的球谐函数, $P_\ell^m\,\!$ 为伴随勒让德函数, N 是归一化因子。

經過歸一化後，球谐函数表達為

$Y_\ell^m(\theta,\ \varphi) =(i)^{m+|m|} \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell - |m|)!\over (\ell+|m|)!}} \, P_\ell^m (\cos{\theta}) \, e^{im\varphi}\,\!$ ；

其中，$i\,\!$ 是虛數單位，$P_\ell^m(\cos{\theta})\,\!$ 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

$P_\ell^m(x) = (1 - x^2)^{|m|/2}\ \frac{d^{|m|}}{dx^{|m|}}P_\ell(x)\,$ ；

而 $P_\ell(x)\,\!$ 是 $l$ 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：

$P_\ell(x) = {1 \over 2^\ell \ell!} {d^\ell\over dx^\ell }(x^2 - 1)^l$ 。

前几阶球谐函数

$l=0$

$Y_{0}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{1\over \pi}$

$l=1$

$Y_{1}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi} \, \sin\theta \, e^{-i\varphi}$

$Y_{1}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\, \cos\theta$

$Y_{1}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\, \sin\theta\, e^{i\varphi}$

$l=2$

$Y_{2}^{-2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi} \, \sin^{2}\theta \, e^{-2i\varphi}$

$Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin\theta\, \cos\theta\, e^{-i\varphi}$

$Y_{2}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\, (3\cos^{2}\theta-1)$

$Y_{2}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin\theta\,\cos\theta\, e^{i\varphi}$

$Y_{2}^{2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin^{2}\theta \, e^{2i\varphi}$