球谐函数

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球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式的解。在量子力学等领域广泛应用。

球坐标下的拉普拉斯方程是:

\nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0\,\! 。
實值的球諧函數 Ylm，l = 0 到 4 （由上至下），m=0 到 4（由左至右）。負數階球諧函數 Yl,-m 可由正數階函數對 z-軸轉 90/m 度得到。
實值的球諧函數 Ylm，l = 0 到 4 （由上至下），m=0 到 4（由左至右）。負數階球諧函數 Yl,-m 可由正數階函數對 z-軸轉 90/m 度得到。

設定 f(r,\ \theta,\ \varphi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi)\,\! 。代入拉普拉斯方程，用分离变量法得到:

\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d\varphi^2} = -m^2\,\! ，
l(l+1)\sin ^2(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left [ \sin(\theta) \frac{d\Theta}{d\theta} \right ] = m^2\,\! 。

角度部分可以写成三角函数和伴随勒让德多项式的乘积：

Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = N \, e^{i m \varphi } \, P_\ell^m (\cos{\theta} )\,\! ；

这里的 Y_\ell^m\,\! 称为 \ell\,\! 和 m 的球谐函数, P_\ell^m\,\! 为伴随勒让德函数, N 是归一化因子。

經過歸一化後，球谐函数表達為

Y_\ell^m(\theta,\ \varphi) =(i)^{m+|m|} \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell - m)!\over (\ell+m)!}} \, P_\ell^m (\cos{\theta}) \, e^{im\varphi}\,\! ；

其中，i\,\! 是虛數單位，P_\ell^m(\cos{\theta})\,\! 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

P_\ell^m(x) = (1 - x^2)^{|m|/2}\ \frac{d^{|m|}}{dx^{|m|}}P_\ell(x)\, ；

而 P_\ell(x)\,\! 是 l 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：

P_\ell(x) = {1 \over 2^\ell \ell!} {d^\ell\over dx^\ell }(x^2 - 1)^l 。
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