球面像差

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
像差
Barrel distortion.svg 畸變

Spherical aberration 3.svg 球面像差
Lens coma.svg 彗形像差
Astigmatism.svg 像散
Field curvature.svg 佩兹瓦尔像场弯曲‎
Lens6a.svg 色差
散焦
活塞
歪斜

光學中,球面像差是發生在經過透鏡折射或面鏡反射的光線,接近中心與靠近邊緣的光線不能將影像聚集在一個點上的現象。這在望遠鏡和其他的光學儀器上都是一個缺點,這是因為透鏡和面鏡是球面的形狀,不能聚焦在一個點上造成的。這是一個重要的特性,但是因為球面鏡比非球面鏡容易製造,所以絕大部分的透鏡都是球面鏡。

球面像差與鏡面直徑的四次方成正比,與焦長的三次方成反比,所以他在低焦比的鏡子,也就是所謂的「快鏡」上就比較明顯。

對使用球面鏡的小望遠鏡,當焦比低於f/10時,來自遠處的點光源(例如恆星)就不能聚集在一個點上。特別是來自鏡面邊緣的光線比來自鏡面中心的光線更不易聚焦,這造成影像因為球面像差的存在而不能很尖銳的成象。所以焦比低於f/10的望遠鏡通常都使用非球面鏡或加上修正鏡。

在透鏡系統中,可以使用凸透鏡凹透鏡的組合來減少球面像差,就如同使用非球面透鏡一樣。

球面像差公式[编辑]

单球面

一个球面,PA 为由球面顶点到非近轴光线入射点点距离,球面左右介质的折射率分别为 n,n';非近轴入射角,折射角分别为J,J';非近轴入射线和折射线与光轴的夹角分别为U,U';近轴光线的入射角为i;这个球面对球面像差的贡献为[1]

球面像差=\frac{-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'*u'*sin(U))}

在四种情况下,球面像差为零:

  • 1.
PA=0

物体和像与球面顶点重合。

  • 2.
I'=I;

物体和物象在球面的曲率中心

  • 3.
i=0;
  • 4.
I=U'或I'=U

在这种情形下的球面成为消球差曲面

消球差球面

根据球面折射的基本方程可以导出[2]

L=\frac{r*(n+n')}{n}

L'=\frac{r*(n+n')}{n'}

对于消球差曲面,凡是射向同一点B入射光,其折射线与光轴相交于一个共同点B'。

BC=L-r=r*\frac{n}{n'}

BC=L'-r=r*\frac{n'}{n}

例如,n=1,n'=1.5[3]

L=2.5*r

L'=1.6667*r

消球差曲面多用于高倍率显微镜的物镜[4][3]。一个消球差薄透镜由一个消球差球面和一个平面经组成,对于平行光。消球差薄透镜等同一块平板玻璃,对于聚合光束,消球差薄透镜增加光束的聚合度,对于发散光束,消球差薄透镜增加光束的发散度。[5]

同轴球面系

对于一个由多个球面组成镜头,球面像差由一下公式给出[6].


LA'=trans+newsp

其中 trans=\frac{LA*n[1]*n'[1]*sin(U[1])}{(n'[k]*u'[k]*sin(U'[k]))}

newsp= \sum_{k=1}^k (\frac{-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'[k]*u'[k]*sin(U[k]))}

Wikibooks-logo.svg
您可以在維基教科書中查找此百科条目的相關電子教程:

球面像差展开式[编辑]

球面像差可表示为

LA'=a*Y^2+b*Y^4+c*Y^6+………………[7][8]。其中Y是入射光线的在球面入射点到光轴的距离。

球面像差
红线代表二次项,蓝线代表二次和四次项之和,黑线为二、四、六次项之和

薄透镜组的球面像差[编辑]

亚历山大·尤金·康拉迪推导出薄透镜组的球面像差公式如下[9][10]:

SC=\frac{y^4}{n_0'*u_0^2}*\sum(G_1*c^3-G_2*c^2*c_1+G_3*c^2*v_1+G_4*c*c_1*v_1+G_6*c*v_1^2)

其中“0”代表最后的结果,Σ代表对各镜片之和

c=\frac{1}{f*(n-1)}
c=\frac{1}{r_1}
G_1=\frac{n^2*(n-1)}{2}
G_2=\frac{1}{2}*(2*n+1)(n-1)
G_3=\frac{1}{2}*(3n+1)(n-1)
G_4=\frac{1}{2*n}*(n+2)(n-1)
G_5\frac{1}{2*n}*(n^2-1)
G_6=\frac{1}{2*n}*(3*n+2)

薄透镜的球面像差[编辑]

对于单薄镜片,上式可简化为[11]

单镜片的球面像差=LA'=-y^2*l'^2*(\sum(G_1*c^3-G_2*c^2*c_1+G_3*c^2*v_1+G_4*c*c_1*v_1+G_6*c*v_1^2)

令上式对c_1的导数为零,可求得单镜片具有最小球面像差的条件[12]:

\frac{dLA'}{dc_1}=-y^2*l'^2*(-G_2*c^2+2*G_4*c*c_1-G_5*c*v_1)=0

c_1=\frac{G_2c+G_5v_1}{2G_4}=\frac{0.5*n*(2*n+1)*c+2*(n+1)*v_1}{n+2}.

当物距为无穷远时,v_1=0;

于是

\frac{c_2}{c_1}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{2n-n-4}{n*(2n+1)}[13]

n r_1/r_2
1.5 -6
1.518 -6.7374
1.6 -14
1.7 93.5
1.8 12.1765
2 5
3 1.9
4 1.5

参考文献[编辑]

  1. ^ Kingslake p104
  2. ^ Rudolf Kingslake p104-105
  3. ^ 3.0 3.1 Rudolf Kingslake p105
  4. ^ Moritz von Rohr p244
  5. ^ Rudolf Kingslake p106
  6. ^ Rudolf Kingslake p104
  7. ^ A.E.Conrady p101
  8. ^ Kingslake p114
  9. ^ Alexander Eugen Conrady, p95
  10. ^ Kingslake p117
  11. ^ Kingslake p118
  12. ^ Kingslake, p118
  13. ^ Kingslake p119
  • von Rohr莫里兹·冯·罗尔, Moritz. Geometrical Investigation of the Formation of Images in Optical Instruments. H.M.STATIONARY, LONDON. 1920. 

相關條目[编辑]