球 (数学)

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歐幾里得空間中,n維球體指的是在同半徑的n-1維球面中所包含的空間。这一概念能使用在任意歐幾里得空間中。

生活中的实例:篮球

定義[编辑]

歐幾里得空間中,n維球體指的是在同半徑的n-1維球面中所包含的空間。其是一個集合,包含所有到某個固定點的距離不大于某值的點。

設M為度量空間,以M中的點p為圓心,以r > 0為半徑的開球為: (待補)

其中,d為距離函數或量度。

若將上述定義中的小於(<)改為小於等於(≤),則上式成為閉球的定義:


若半徑必為1,則該球稱為單元球。在n-維歐氏空間,一個閉單位球一般記作Dn.

性质[编辑]

  • 由于r > 0,无论是开球还是闭球,点p总是属于上述定义的球。
  • 度量空間內任意一個開集都可以看成為開球的并集


欧几里得几何[编辑]

n-維欧几里得空间中,按照一般欧几里得度量,若空間是一條線,那球就是区间;若空間是一個平面,那球就是內的

三维情形的球表达式,表面积,体积公式请参见球面

相关概念[编辑]

  • 橢球體(橢球):由橢圓發展出來的類球體,所以有三個三維座標軸長,當其中兩個長度相等,則會是扁球或高球。其切面是橢圓,但在獨立長度軸為法線的面的切面是圓形。
    • 扁球:高比長的類球體。
    • 高球:高圓或扁高類球體,是「高」長過「長」的類球體。
  • 球缺:球体被平面截去一部分后剩余的部分。
    • 半球體(半球):特殊的球缺,截面通过球心,將圓球切開一半的立體。

拓撲學[编辑]

拓扑上,有两个含义,由上下文决定。

“(开)球”一词有时被非正式地用于指代任何开集:可以用“p点周围的一个球”代表包含p的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样,“闭球”有时用于表示这样一个开集的闭包。(这可能产生误导,例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包,它们都是既开且闭的。) 有时,邻域用于指代这个意义上的球,但是邻域其实有更一般的意义:p的一个邻域是任何包含一个p的开集的集合,因此通常不是开集。

而且(更正式一点),一个(开或者闭)球是一个拓扑空间同胚于一个几何学中描述的(开或者闭)的欧氏球,但可能没有它的度量。一个球由它的维度给定:一个n维球称为n-球并记为B^n或者D^n。对于不同的nm,一个n-球不同胚于一个m-球。球不必是光滑的;若它光滑,它不必微分同胚于该欧氏球

參看[编辑]