理发师悖论

理髮師悖論（Barber paradox）是羅素用来比喻羅素悖論的一个通俗说法，是由伯特蘭·羅素在1901年提出的。羅素悖論的出現是由於樸素集合論對於元素的不加限制的定義。由於當時集合論已成為數學理論的基礎，這一悖論的出現直接導致了第三次數學危機，也引發了眾多的數學家對這一問題的補救，最終形成了現在的公理化集合論。同時，羅素悖論的出現促使數學家認識到將數學基礎公理化的必要性。

內容[编辑]

小城里的理发师放出豪言：「我幫且只幫城裡所有不自己刮臉的人刮臉」。

但问题是：理发师该给自己刮脸吗？如果他给自己刮脸，那么按照他的豪言“只为那些不为自己刮脸的人刮脸”他不应该为自己刮脸；但如果他不给自己刮脸，同样按照他的豪言“为城里所有不为自己刮脸的人刮脸”他又应该为自己刮脸。

用集合论的语言来描述理发师悖论是这样的：小城里的人构成集合 $A=\{a | a\ lives\ in\ the\ town\}$ ，对于每个小城里的人a可以构造一个A的子集 $S_a=\{x | a\ shaves\ x\}$ ，即a给属于 $S_a$ 的人刮脸。那么，如果城里人a给自己刮脸，则 $a \in S_a$ ，如果a不给自己刮脸，则 $a\not\in S_a$ ，如果a不给任何人刮脸，则 $S_a$ 为空，即 $S_a=\{\}$ 。设理发师为s，则理发师的豪言就是： $S_s=\{a | a \not\in S_a\}$ 。问题是：如果 $s \in S_s$ ，这将与 $S_s$ 的定义矛盾，但如果 $s \not\in S_s$ ，根据 $S_s$ 的定义，又应该有 $s \in S_s$ 。

对其作为悖论的质疑[编辑]

理发师悖论实际上不是一个悖论，它是理发师犯的一个逻辑错误。我们知道，“非 $A$ 即 $B$ ”的断言只在 $A\neq B$ 的时候才有意义，或者说它的定义域不包含 $A=B$ 的情况。理发师的豪言等价于：给城里人 $x$ 刮脸的人“非 $x$ 自己即我”。但他忘了排除“ $x=$ 我”的奇异情况，因而出现了“非我即我”的自相矛盾的情况。考虑到“非A即B”的例外情况后理发师的豪言应改为：“我要为城里除我自己外的所有不为自己刮脸的人刮脸”。

在用集合语言描述时，考虑到 $S_a$ 的初始定义，应有 $S_s=\{a | (s\ shaves\ a) \land (a \not\in S_a)\}$ ，它等价于 $S_s=\{a | (s\ shaves\ a) \land (a\ doesn't\ shaves\ a)\}$ 。不难看出，当 $a=s$ 时，集合 $S_s$ 的定义语是自相矛盾的，因为这时的定义语是：“理发师为自己刮脸且理发师不为自己刮脸”。

用“非 $A$ 即 $B$ ”的套路还可以构造出许多其它“悖论”，书目悖论就是其中之一，但它们实际上都不是悖论。

历史故事[编辑]

德国数理逻辑大师弗雷格（Frege）曾研究用集合论去描述数理逻辑，为此他还写了一本书。他在给罗素的信中提到他的工作时说他为此构造了一个特殊的集合（ $A$ ），这个集合由所有不包含自己的集合构成。也就是说，集合 $A$ 的元素 $X$ 是一个集合， $X$ 自己不是自己的元素，即 $X \not\in X$ 。罗素在回信中讲述了前面的理发师的故事。聪明的弗雷格看出了这实际上是指出了他所构造的集合 $A$ 的问题：如果 $A \not\in A$ ，那么根据定义 $A$ 应该包含 $A$ ，即 $A \in A$ ；但是如果 $A \in A$ ，那么同样根据定义 $A$ 又不应该包含 $A$ ，即 $A \not\in A$ 。可此时弗雷格的书已经付印，修改已经是不可能的了，弗雷格只能在书中加一个后记并写到：在工作结束之后而发现那大厦的基础已经动摇，对于一个科学工作者来说，没有比这更为不幸的了。

虽然罗素没有直接点出那个弗雷格所构造的集合的悖论，但人们还是将那个集合的悖论称作罗素悖论。罗素悖论可以简单描述为：构造一个由所有不包含自己的集合构成的集合A，即 $A=\{X|X \not\in X\}$ ，但我们无法断定A是否应该包含A，无论包含或者不包含都会导出矛盾。由于罗素悖论只涉及集合的定义和从属关系的判断这些集合论最基础的问题，而集合论又已成为数学理论的基础，因此罗素悖论导致了第三次数学危机。