理想的根

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數學中的環論領域,一個理想是一個較大的理想,它約略是該理想的某種閉包。根理想是等於其自身的根的理想。

理想的根又可分為雅各布森根冪零根,前者較後者為大。

交換環的冪零根[编辑]

R交換環I \subset R 為其理想。該理想的冪零根 \mathrm{Rad}(I)(或 \sqrt{I})定義為

\hbox{Rad}(I)=\{r\in R|\exists n, \;r^n\in I\ \}

二項式定理可知 \mathrm{Rad}(I) 也是一個理想,並包含 I。當取 I=\{0\} 時,相應的根即是冪零元素的集合,也稱作環的冪零根,有時記為 \mathrm{nil}(R)。記 \pi: R \to R/I 為商同態,則

\hbox{Rad}(I) = \pi^{-1}(\hbox{nil}(R/I))

利用局部化技巧,也可證明

\hbox{Rad}(I) = \bigcap \{P \in \hbox{Spec}(R) : P \supset I \}

為具體起見,考慮較簡單的例子 R=\mathbb{Z}。每個非零理想都可寫成 I = (\prod_i p_i^{e_i}),此處 p_1, p_2, \ldots 取遍所有素數e_i 則是非負整數。易證

\sqrt{I} = (\prod_{e_i > 0} p_i)

雅各布森根[编辑]

R 為環(未必交換),其雅各布森根 J(R) 定義為所有單右 R-模的零化子之交。對於雙邊理想 I \subset R,設 \pi: R \to R/I 為商同態,定義 J(I) := \pi^{-1}(J(R/I))

雅各布森根還有諸種等價的定義。當 R 交換時,有下述簡單的性質:

\hbox{Rad}(I) = \bigcap \{P \in \hbox{Spec-max}(R) : P \supset I \}

換言之,此即所有包含 I極大理想之交。由此立見 J(I) \supset \hbox{Rad}(I)

文獻[编辑]

  • David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.