理想類群

理想類群是代數數論的基本對象之一，簡稱類群。它描述了一個數域的理想與元素的差異。理想類群是有限交換群，其元素個數稱作該域的類數。

形式定義 [编辑]

設 $\mathcal{O}$ 為戴德金整環。此時 $\mathcal{O}$ 中的非零理想對乘法構成一個交換么半群。

今將定義其上的等價關係：設 $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ 為二非零理想，定義

$\mathfrak{a} \sim \mathfrak{b} \Leftrightarrow \exists s,t \in K^\times \; (s)\mathfrak{a} = (t) \mathfrak{b}$

理想么半群對此關係的商構成一個交換群 $\mathrm{Cl}(\mathcal{O})$ ，稱為 $\mathcal{O}$ 的理想類群。

另一套進路是考慮 $\mathfrak{O}$ 的非零分式理想構成之交換群，再考慮它對主分式理想 $\{(q) : q \in K^\times \}$ 之商，由此得到的對象自然同構於理想類群。

理想類群為平凡群的充要條件是該戴德金整環為主理想環。
設 $K$ 為數域， $\mathcal{O}_K$ 為其中的代數整數環，因而是戴德金整環。此時可證明 $\mathcal{O}_K$ 是有限群。其元素個數記為 $h_K$ ，稱作類數。

考慮二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 。考慮理想

$J=(2,1+\sqrt{-5})$ 。

易證此非主理想，因此理想類群非零。事實上，其理想類群是二階循環群。