理想 (环论)

理想（Ideal）是一个抽象代数中的概念。

定义

环(R,+,·)，易知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想，若I满足：

1. (I, +) 构成 (R, +) 的子群。
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。

类似地，I称为R的左理想，若以下条件成立：

1. (I, +) 构成 (R, +) 的子群。
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，r·i ∈ I。

若I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称R上的理想。

示例

• 整数环的理想：整数环Z只有形如nZ的理想。

一些结论

• 在环中，(左或右)理想的交和并仍然是(左或右)理想。

• 对于R的两个理想A，B，记$AB=\left\{ \sum_{k=0}^{n} a_{k}b_{k}| a_{k} \in A,b_{k} \in B \right\}$。按定义不难证明：

• (1) 如果A是R的左理想，则AB是R的左理想。
• (2) 如果B是R的右理想，则AB是R的右理想。
• (3) 如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。

• R的子集I是R的理想，若I满足：
  1. ∀a,b ∈ I，a - b∈I。
  2. ∀a ∈ I, r ∈ R， 则a·r∈ I。

• 交换环的理想：交换环的理想都是双边理想。

• 除环的理想：除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。

生成理想

如果A环R的一个非空子集，令<A>=RA+AR+RAR+ZA，则<A>是环R的理想，这个理想称为R中由A生成的理想, A称为生成元集。同群的生成子群类似，<A>是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：

• (1) 当是交换环时，<A>=RA+ZA

• (2) 当是有单位元1的环时，<A>=RAR

• (3) 当是有单位元交换环时，<A>=RA

主理想

设集合A = {a₁,a₂,...,a_n}，则记<A> = <a₁,a₂,...,a_n>，称$\left \langle A \right \rangle$是有限生成理想.特别当$A= \left\{ a\right\}$是单元素集时，称$\left \langle A \right \rangle =\left \langle a \right \rangle$为环R的主理想。注意$\left\{ a\right\}$作为生成元一般不是唯一的，如$\left \langle a \right \rangle =\left \langle -a \right \rangle$。$\left \langle a \right \rangle$的一般形式是：

$\left \langle a \right \rangle =\left\{ \sum_{k=1}^{m} x_{k}ay_{k}+sa+at+na| x_{k},y_{k},s,t \in R, n,m \in Z \right\}$

• 性质：$\left \langle A \right \rangle =\sum_{a \in A} \left \langle a \right \rangle$

几类特殊环中的主理想：

• (1) 如果是交换环，则$\left \langle a \right \rangle =\left\{sa+na| s \in R, n \in Z \right\}$

• (2) 如果是有单位元的环，则$\left \langle a \right \rangle =\left\{ \sum_{k=1}^{m} x_{k}ay_{k}| x_{k},y_{k} \in R, m \in Z, m>0 \right\}$

• (3) 如果是有单位元的交换环，则$\left \langle a \right \rangle =\left\{sa| s \in R \right\}$

　　

相关概念和结论

• 真理想：若I是环R的理想，且I是R的真子集，I称为R的真理想。
• 极大理想： 环R的一个真理想I被称为R的极大理想，若不存在其他真理想J，使得I是J的真子集。
  • 极大左理想：设 I 是环R的左理想，若I ≠ R并且在 I 与R之间不存在真的左理想，则称 I 是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：
    1. 如果 I 是极大左理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。
    2. 极大理想未必是极大左理想。
  • 单环：在幺环中，若零理想是其极大理想，称该环为单环。
    • 除环是单环，其零理想是极大理想。
    • 域是单环。
  • 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
  • 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R / I是域。
  • 设I是环R的左理想，则I是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有 I+J=R。

• 素理想：环 R 的真理想 I 被称为素理想，若∀R上的理想A，B，有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I 或 B ⊆ I。
• 素环：若环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。
  • 无零因子环是素环。
  • 在交换环 R 中，真理想 I 是素理想的充要条件是： R / I 是素环。
• 准素理想：环R的真理想I。若∀R上的理想P，有P² ⊆ I ⇒ P ⊆ I，称 I 是 R的准素理想。
  • 准素理想是一类比素理想相对较弱的理想。素理想是准素理想，反之不成立。

参见

• 理想 (序理论)