理想 (环论)

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理想(Ideal)是一个抽象代数中的概念。

定义[编辑]

(R,+,·),易知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想,若I满足:

  1. (I, +)构成(R, +)的子群。
  2. ∀i ∈ I,r ∈ R,i·r ∈ I。

类似地,I称为R的左理想,若以下条件成立:

  1. (I, +)构成(R, +)的子群。
  2. ∀i ∈ I,r ∈ R,r·i ∈ I。

若I既是R的右理想,也是R的左理想,则称I为R的双边理想,简称R上的理想

示例[编辑]

  • 整数环的理想:整数环Z只有形如nZ的理想。

一些结论[编辑]

  • 在环中,(左或右)理想的交和并仍然是(左或右)理想。
  • 对于R的两个理想A,B,记 AB=\left\{ \sum_{k=0}^{n} a_{k}b_{k}| a_{k} \in A,b_{k} \in B \right\}。按定义不难证明:
  1. 如果A是R的左理想,则AB是R的左理想。
  2. 如果B是R的右理想,则AB是R的右理想。
  3. 如果A是R的左理想,B是R的右理想,则AB是R的双边理想。
  • R的子集I是R的理想,若I满足:
  1. ∀a,b ∈ I,a - b∈I。
  2. ∀a ∈ I, r ∈ R,则a·r∈ I。
  • 交换环的理想:交换环的理想都是双边理想。
  • 除环的理想:除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。

生成理想[编辑]

如果A环R的一个非空子集,令<A>=RA+AR+RAR+ZA,则<A>是环R的理想,这个理想称为R中由A生成的理想, A称为生成元集。同群的生成子群类似,<A>是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况:

  1. 当是交换环时,<A>=RA+ZA
  2. 当是有单位元1的环时,<A>=RAR
  3. 当是有单位元交换环时,<A>=RA

主理想[编辑]

设集合A = {a1,a2,...,an},则记<A> = <a1,a2,...,an>,称\left \langle A \right \rangle 是有限生成理想。特别当A= \left\{ a\right\}是单元素集时,称\left \langle A \right \rangle =\left \langle a \right \rangle  为环R的主理想。注意\left\{ a\right\}作为生成元一般不是唯一的,如\left \langle a \right \rangle =\left \langle -a \right \rangle \left \langle a \right \rangle的一般形式是:

\left \langle a \right \rangle =\left\{ \sum_{k=1}^{m} x_{k}ay_{k}+sa+at+na| x_{k},y_{k},s,t \in R, n,m \in Z \right\}
  • 性质:\left \langle A \right \rangle =\sum_{a \in A} \left \langle a \right \rangle
几类特殊环中的主理想:
  1. 如果是交换环,则\left \langle a \right \rangle =\left\{sa+na| s \in R, n \in Z \right\}
  2. 如果是有单位元的环,则\left \langle a \right \rangle =\left\{ \sum_{k=1}^{m} x_{k}ay_{k}| x_{k},y_{k} \in R, m \in Z, m>0 \right\}
  3. 如果是有单位元的交换环,则\left \langle a \right \rangle =\left\{sa| s \in R \right\}

相关概念和结论[编辑]

  • 真理想:若I是环R的理想,且I是R的真子集,I称为R的真理想
  • 极大理想:环R的一个真理想I被称为R的极大理想,若不存在其他真理想J,使得I是J的真子集
    • 极大左理想:设I是环R的左理想,若I ≠ R并且在I与R之间不存在真的左理想,则称I是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系:
      1. 如果I是极大左理想,又是双边理想,则I是极大理想。
      2. 极大理想未必是极大左理想。
    • 单环:在幺环中,若零理想是其极大理想,称该环为单环
      • 除环是单环,其零理想是极大理想。
      • 域是单环。
    • 在整数环Z中,由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是:p是素数。
    • 设R是有单位元1的交换环。理想I是R的极大理想的充分且必要条件是:商环R / I是域。
    • 设I是环R的左理想,则I是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在I中的左理想J都有I+J=R。
  • 素理想:环R的真理想I被称为素理想,若∀R上的理想A,B,有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或B ⊆ I。
  • 素环:若环R的零理想是素理想,则称R是素环(或质环)。
    • 无零因子环是素环。
    • 在交换环R中,真理想I是素理想的充要条件是:R / I是素环。
  • 准素理想:环R的真理想I。若∀R上的理想P,有P2 ⊆ I ⇒ P ⊆ I,称I是R的准素理想
    • 准素理想是一类比素理想相对较弱的理想。素理想是准素理想,反之不成立。

参见[编辑]