理查德森外推法

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数值分析中,理查德森外推法用以改善级数序列收敛效率,它是在20世纪前期由英国数学家,物理学家,气象学家Lewis Fry Richardson提出的。在数值分析领域,Richardson外推法有很多实际应用,如隆贝格积分方法,是在梯形公式的基础上应用Richardson外推法导出的;还有用于求解常微分方程Bulirsch–Stoer算法

推导[编辑]

假定某一函数D可数值近似(离散化)为D\left( h \right),其中h为步长,

 D = D \left( h \right) + a h^p + b h^q + \ldots (1)

其中p为首项阶数,q下一项阶数, 满足q > p

考虑该函数又可以使用同样的数值近似方法,以步长为h_2做离散近似

 D = D \left( h_2 \right) + a h_2^p + b h^q_2 + \ldots (2)

如果希望消掉式(1)中的h^p项,我们可以对以上两式相减,即(1)- r(2),其中r = \left( \frac{h}{h_2} \right)^p

\left( 1 - r \right) D = D \left( h \right) + a h^p + b h^q - r D \left(h_2 \right) - r a h^p_2 - r b h^q_2 + \ldots = D \left( h \right) - r D \left( h_2 \right) + a \underbrace{\left( h^p - r h_2^p \right)}_0 + b \left( h^q - r h_2^q \right)
\left( 1 - r \right) D = D \left( h \right) - r D \left( h_2 \right) + b \left( h^q - r h_2^q \right)
D = \frac{D \left( h \right) - r D \left( h_2 \right)}{1 - r} + \frac{b\left( h^q - r h_2^q \right)}{1 - r} = \frac{D \left( h \right) - r D\left( h_2 \right)}{1 - r} + \frac{b \left( 1 - r \frac{h_2^q}{h^q}\right) h^q}{1 - r}
D = \frac{D \left( h \right) - r D \left( h_2 \right)}{1 - r} + \frac{b\left( 1 - \left( \frac{h}{h_2} \right)^p  \left( \frac{h_2}{h} \right)^q
\right) h^q}{1 - r} = \underbrace{\frac{D \left( h \right) - r D \left(h_2 \right)}{1 - r}}_{D^{\ast} \left( h \right)} + \underbrace{\frac{b\left( 1 - \left( \frac{h_2}{h} \right)^{q - p} \right)}{1 - r}}_{b^{\ast}} h^q

或简记作:

\therefore D = D^{\ast} \left( h \right) + b^{\ast} h^q

D^{\ast}(h)代替了D(h),为D的新的数值近似。新近似相比最初形式具有更高阶的误差项,数值精度由此提高,此方法即为理查德森外推法

示例[编辑]

应用理查德森方法,改善用于近似微分的中心差分公式

 f' \left( x_n \right) = \underset{D \left( h \right)}{\underbrace{\frac{f\left( x_n + h \right) - f \left( x_n - h \right)}{2 h}}} -\underset{a}{\underbrace{\frac{f''' \left( x_n \right)}{6}}} h^2 -\underset{b}{\underbrace{\frac{f^{\left( 5 \right)} \left( x_n\right)}{120}}} h^4

则由式(1)可知p = 2, q = 4, h_2 = 2 h, r = \left( \frac{1}{2} \right)^p = \frac{1}{4} 代入公式:

D^{\ast} = \frac{D \left( h \right) - r D \left( h_2 \right)}{1 - r} = \frac{\frac{f \left( x_n + h \right) - f \left( x_n - h \right)}{2 h} - \frac{1}{4} \frac{f \left( x_n + 2 h \right) - f \left( x_n - 2 h \right)}{4 h}}{1 - \frac{1}{4}}
D^{\ast} = \frac{8 \left[ f \left( x_n + h \right) - f \left( x_n - h\right) \right] - f \left( x_n + 2 h \right) + f \left( x_n - 2 h\right)}{12 h}

由此,中心差分公式精度由2阶变为4阶。

参考文献[编辑]

  • Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.

外部链接[编辑]