環的譜

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抽象代數學代數幾何學中,一個交換環A是指其素理想全體形成的集合,記作\mathrm{Spec}(A)。它被賦予扎里斯基拓撲和結構層,從而成爲局部賦環空間

一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜,即稱爲仿射概形

扎里斯基拓撲[编辑]

對於交換環 A 裡的任一理想 \mathfrak{a},置 V(\mathfrak{a}) := \{ \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A) : \mathfrak{p} \supset \mathfrak{a} \}。容易證明下述性質:

  • V(\mathfrak{ab}) = V(\mathfrak{a}) \cup V(\mathfrak{b})
  • V(\sum_i \mathfrak{a}_i) = \bigcap_i V(\mathfrak{a}_i)
  • V(\mathfrak{a}) \subset V(\mathfrak{b})若且唯若\sqrt{\mathfrak{a}} \supset \sqrt{\mathfrak{b}}

因此我們可以在Spec(A)上定義一個拓撲結構,使得其閉子集恰為形如V(\mathfrak{a})的子集,稱之扎里斯基拓撲

一般而言,扎里斯基拓撲並不滿足豪斯多夫性質

結構層[编辑]

考慮扎里斯基拓撲下的下述預層

 \mathcal{O}_{0,A} : U \mapsto \varprojlim_{\mathfrak{p} \in U} A_{\mathfrak{p}}

\mathcal{O}_A為其層化,稱作\mathrm{Spec}(A)結構層。顯然有\mathcal{O}_{A,\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}},故(\mathrm{Spec}(A),\mathcal{O})構成一個局部賦環空間。

一個元素a \in A給出\mathcal{O}_A的截面,事實上可以證明\Gamma(\mathrm{Spec}(A), \mathcal{O}_A) = A

交換環譜間的態射[编辑]

A, B為交換環,\phi: A \rightarrow B為一同態,則可定義一個映射f(\mathfrak{p}) = \phi^{-1}(\mathfrak{p}),這是從\mathrm{Spec}(B) \mathrm{Spec}(A)的連續映射,在結構層上則以a \mapsto \phi(b)定義f^\sharp: \mathcal{O}_A \rightarrow f_* \mathcal{O}_B,那麼(f,f^\sharp)給出局部賦環空間的態射。

反之,任何仿射概形間的態射皆由此唯一地給出。上述對應遂建立起交換環的反範疇與仿射概形範疇的等價性。

古典觀點[编辑]

k為代數封閉域,給定f_i \in k[X_1,\ldots,X_n](i=1,2,...),則方程組f_i(x_1, \ldots, x_n) = 0定義一個代數簇X \subset \mathbb{A}^n_k

\mathfrak{a} := (f_1, \ldots, f_n) \subset k[X_1, \ldots, X_n]A := \mathrm{k[X_1, \ldots, X_n]/\mathfrak{a}}。根據希爾伯特零點定理X的點一一對應到A的極大理想。

一般而言,\mathrm{Spec}(A)內的元素一一對應到X內的不可約閉集。考慮全體素理想的好處之一,在於可以藉此在概形上運用安德烈·韋伊的一般點(generic point)理論;此外,環同態不一定將極大理想拉回到極大理想,除非該環是 Jacobson 環。

\mathrm{Spec}(A)的拓撲結構僅涉及\sqrt{\mathfrak{a}}A裡的冪零元素看似無幾何意義,但它們在研究無窮小變化及態射的纖維上功效至大。

參見[编辑]