環面曲線

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伯努利雙紐線的外形如∞

環面曲線(toric section)是平面環面相交形成的曲線,正如圓錐曲線圓錐面和平面相交而成的。其方程為:


\left( x^{2} + y^{2} \right)^{2} + a x^{2} + b y^{2} + cx + dy + e = 0

它們都是四次曲線。

伯努利雙紐線[编辑]

伯努利雙紐線(Lemniscate of Bernoulli)的方程為

(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)

求雙紐線的弧長需要應用橢圓積分。雙紐線可視為雙曲線反演變換,反演圓心在雙曲線焦點的中點。

卡西尼卵形線[编辑]

卡西尼卵形線

取兩個定點Q_1, Q_2為焦點。卡西尼卵形線(Cassini oval)是所有這樣的點P的軌跡:P和焦點的距離的為常數(這類似橢圓的定義——點P和焦點的距離的為常數)。即d(P,Q_1) \times d(P,Q_2) = b^2

直角坐標系,若焦點分別在(a,0)(-a,0),卵形線的方程可寫成:

((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2)=b^4
(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)+a^4=b^4
(x^2+y^2+a^2)^2-4a^2x^2=b^4

極坐標系

r^4-2a^2r^2 \cos 2\theta = b^4-a^4

卵形線經過反演變換,依然是卵形線。

卵形線的形狀由b/a的值決定。若b/a>1,軌跡是一個封閉的圈。若b/a<1,軌跡是兩個封閉的圈。若b/a=1,軌跡為伯努利雙紐線。

Hippopede曲線[编辑]

Hippopedes: a=1, b=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0
Hippopedes: b=1, a=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0

Hippopede曲線(或Hippopede of Proclus)的極坐標方程為:

r^2 = 4 b (a- b \sin^{2} \theta)

直角坐標系:

\left(x^2+y^2 \right)^2+4b(b-a)(x^2+y^2)=4b^2x^2

b=2a,Hippopede曲線為伯努利雙紐線。