生命表

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2003美國生命表,頁一,表一

精算學中,生命表(也稱死亡率表精算表)是一個表。其中顯示一個人在每一個年齡,他在下一個生日前死亡的概率。運用這個概率和統計學算式,可得出多項統計數據,而這些數據也會列入生命表中。這些數據包括:

  • 一個人在每一個年齡,他在下一個生日時生存的概率
  • 人們在不同的年齡的預期壽命
  • 原有出生的一群人仍然活著的比例
  • 估計原有出生的一群人的長壽性

保險中的應用[编辑]

為了就保險產品定價,並確保保險公司保留充足的儲備以維持償付能力,精算師必須預測今後的投保事件(如死亡,疾病,殘疾等)。為了做到這一點,精算師為這些事件的起因、數額和發生時間開發出數學模型。他們通過研究事件在過去的發生率和嚴重性,隨而預期導致這些事件出現的原因如何隨著時間而改變(例如預期壽命在將來是否仍會繼續增加),由此預期在將來這些事件出現的時間和數目。這些預期通常會以百分比列表表達,百分比表示了根據年齡或其他相關的人口特徵,事件在某一人口中出現的數目。更具體地說,列表會被稱為死亡率表(如果列表提供死亡率),或是發病率表(如果列表提供殘疾和復原比率),或是被作其他名字(視乎列表提供的比率而定)。

電腦面世以及關於個人的數據收集的擴散,導致對不同用途的精算表的計算方法產生根本的變化。除此以外,也為一些院校提供了各種新興的方法,把一系列非傳統行為(如賭博、債務負荷)作為因素計入專門計算中,以作評估風險之用。

數學[编辑]

這裡有幾個計算例子以說明生命表的使用。對於從來沒有研究過概率理論的人而言,這些例子可能不是顯而易見的,但希望能為對離散概率論已有一定認識的人引入新的思路。

  • q_x:剛踏入x歲,但將於(x+1)th歲生日前死亡的機率
  • p_x:由x歲至(x+1)歲仍然存活的機率
p_x = 1-q_x
  • l_x:至x歲仍然存活的人數
注意,這是基於出發點l_0個生命,通常100,000
l_{x + 1} = l_x \cdot (1-q_x) = l_x \cdot p_x
{l_{x + 1} \over l_x} = p_x
  • d_x:在x歲死亡的人數
d_x = l_x-l_{x+1}
  • {}_tp_x:剛踏入x歲時,某人會多存活t年的機率,即至少存活至x+t
{}_tp_x = {l_{x+t} \over l_x}
  • {}_{t|k}q_x:某人在剛踏入x歲時,會多存活t年,然後在未來k年內死亡的機率
{}_{t|k}q_x = {}_t p_x \cdot {}_k q_{x+t} = {l_{x+t} - l_{x+t+k} \over l_x}

生物學[编辑]

當生物學家用生命表時,他們通常還包括每一個年齡的生育率。額外採用的參數是

  • m_x:一個歲數為x的個體的預計後代數目

參見[编辑]