生日問題

生日問題是指，如果一个房间裡有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级（30人）中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。

对此悖论的解释 [编辑]

我们可以把生日悖论理解成一个盲射打靶的问题。对于一个23人的房间，先考虑问题的补集：23人生日两两不同的概率是多少？为此，我们可以让23个人依次进入，那么每个人生日都与其他人不同的概率依次是1, 364/365, 363/365, 362/365, 361/365, 等等。先进入房间的这些人生日两两不同的概率是很大的，比如说前面5个是1×364/365×363/365×362/365×361/365=97.3%。而对于最后进入房间的几个人情况就完全不同。最后几个人进入房间并且找不到同生日者的概率是... 345/365, 344/365, 343/365。我们可以把这种概率看成对一张靶的盲射：靶上有365个小格，其中有17个左右是黑格，其余是白格。假设每枪必中靶并且分布符合几何概型的话，那么连续射12枪左右任何一发都没有击中黑格的概率（投射于房间里的人生日都两两不同）是多少呢？想必大家立即会感觉到这个概率十分微小。

因此，理解生日悖论的关键，在于考虑上述“依次进入房间”模型中最后几个进入房间的人“全部都没碰到相同生日的人”概率有多大这件事情。

概率估计 [编辑]

假設有 n 個人在同一房間內，如果要計算有兩個人在同一日出生的機率，在不考慮特殊因素的前提下，例如閏年、雙胞胎，假設一年365日出生概率是平均分佈的（現實生活中，出生機率不是平均分佈的）。

計算概率的方法是，首先找出p(n)表示 n 個人中，每個人的生日日期都不同的概率。假如n > 365，根據鴿巢原理其概率為0，假设 n ≤ 365，则概率为

$\bar p(n) = 1 \cdot \left(1-\frac{1}{365}\right) \cdot \left(1-\frac{2}{365}\right) \cdots \left(1-\frac{n-1}{365}\right) =\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \frac{362}{365} \cdots \frac{365-n+1}{365}$

该图片显示特定人数对应的2个人生日一样的概率

因为第二个人不能跟第一个人有相同的生日(概率是364/365), 第三个人不能跟前两个人生日相同(概率为363/365),依此类推。用阶乘可以写成如下形式

${ 365! \over 365^n (365-n)! }$

p(n)表示 n个人中至少2人生日相同的概率

$p(n) = 1 - \bar p(n)=1 - { 365! \over 365^n (365-n)! }$

n≤365，根据鸽巢原理， n大于365时概率为1。

当 n=23发生的概率大约是0.507。其他数字的概率用上面的算法可以近似的得出来：

n	p(n)
10	12%
20	41%
30	70%
50	97%
100	99.99996%
200	99.9999999999999999999999999998%
300	1 − (7 × 10⁻⁷³)
350	1 − (3 × 10⁻¹³¹)
≥366	100%

比较 p(n) = 任意两个人生日相同概率 q(n) =和某人生日相同的概率

注意所有人都是随机选出的:作为对比,q(n)表示房间中 n个其他人中与特定人（比如你）有相同生日的概率：

$q(n) = 1- \left( \frac{364}{365} \right)^n$

当n = 22时概率只有大约0.059,约高于十七分之一。如果n个人中有50％概率存在某人跟你有相同生日， n至少要达到253 。注意这个数字大大高于365/2 = 182.5: 究其原因是因为房间内可能有些人生日相同。

数学论证(非数字方法) [编辑]

在 Paul Halmos 的自传中，他认为生日悖论仅通过数值上的计算来解释是一种悲哀。为此，Paul Halmos给出了一种概念数学方法的解释，下面就是这种方法（尽管这个方法包含一定的误差）。乘积

$\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)$

等于 1－p(n), 因此我们关注第一个n，使得乘积小于1/2，这样我们得到

$\sqrt[n-1]{\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)} <{1 \over n-1}\sum_{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)$

由平均数不等式得：

$\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right) <\left({1 \over n-1}\sum_{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)\right)^{n-1}$

$=\left(1-{n \over 730}\right)^{n-1}<\left(e^{-n/730}\right)^{n-1}=e^{-(n^2-n)/730}$

(我们首先利用已知的1到n－1所有整数和等于 n(n－1)/2, 然后利用不等式 1－x < e^−x.) 如果仅当

$n^2-n>730\log_e 2\cong 505.997\dots$

最后一个表达式的值会小于0.5。其中"log_e"表示自然对数。这个数略微小于506，运气稍微好一点点就可以达到506，等于n²－n，我们就得到n＝23。

在推导中，Halmos写道:

这个推导是基于一些数学系学生必须掌握的重要工具。生日问题曾经是一个绝妙的例子，用来演示纯思维是如何胜过机械计算：一两分钟就可以写出这些不等式，而乘法运算则需要更多时间，并更易出错，无论使用的工具是一只铅笔还是一台老式电脑。计算器不能提供的是理解力，或数学才能，或产生更高级、普适化理论的坚实基础。^[1]

然而Halmos的推导只显示至少需要23人保证平等机会下的生日匹配；因为我们不知道给出的不等式有多清晰，因此n＝22能够正切的可能也无法确定。相反的，當代任何人都可以運用個人電腦程式如 Microsoft Excel，幾分鐘就可以把整個機率分布圖形畫出來，對問題答案很快就有個通盤的掌握，一目了然。

泛化和逼近 [编辑]

生日悖论可以推广一下：假设有n 个人,每一个人都随机地从N个特定的数中选择出来一个数(N可能是365或者其他的大于0的整数)。

p(n)表示有两个人选择了同样的数字，这个概率有多大?

下面的逼近公式可以回答这个问题

$p(n)\sim 1-1/\exp(n^2/(2N)).\,$

N＝365的结果 [编辑]

泛化 [编辑]

下面我们泛化生日问题: 给定从符合离散均匀分布的区间[1,d]随机取出n个整数, 至少2个数字相同的概率p(n;d) 有多大?

类似的结果可以根据上面的推导得出。

$p(n;d) = \begin{cases} 1-\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over d}\right) & n\le d \\ 1 & n > d \end{cases}$

$p(n;d) \approx 1 - e^{-(n(n-1))/2d}$

$q(n;d) = 1 - \left( \frac{d-1}{d} \right)^n$

$n(p;d)\approx \sqrt{2d\ln\left({1 \over 1-p}\right)}$ }-

反算问题 [编辑]

反算问题可能是：

对于确定的概率 p ...

... 找出最大的 n(p)满足所有的概率p(n)都小于给出的p，或者

... 找出最小的n(p) 满足所有的概率p(n)都大于给定的p。

对这个问题有如下逼近公式:

$n(p)\approx \sqrt{2\cdot 365\ln\left({1 \over 1-p}\right)}.$

举例 [编辑]

逼近			估计N :=365
p	n 推广	n <N :=365	n↓	p(n↓)	n↑	p(n↑)
0.01	0.14178 √N	2.70864	2	0.00274	3	0.00820
0.05	0.32029 √N	6.11916	6	0.04046	7	0.05624
0.1	0.45904 √N	8.77002	8	0.07434	9	0.09462
0.2	0.66805 √N	12.76302	12	0.16702	13	0.19441
0.3	0.84460 √N	16.13607	16	0.28360	17	0.31501
0.5	1.17741 √N	22.49439	22	0.47570	23	0.50730
0.7	1.55176 √N	29.64625	29	0.68097	30	0.70632
0.8	1.79412 √N	34.27666	34	0.79532	35	0.81438
0.9	2.14597 √N	40.99862	40	0.89123	41	0.90315
0.95	2.44775 √N	46.76414	46	0.94825	47	0.95477
0.99	3.03485 √N	57.98081	57	0.99012	58	0.99166

注意:某些值被着色，说明逼近不总是正确。

经验性测试 [编辑]

生日悖论可以用计算机代码经验性模拟

days := 365;
numPeople := 1;
prob := 0.0;
while prob < 0.5 begin
    numPeople := numPeople + 1;
    prob := 1 - ((1-prob) * (days-(numPeople-1)) / days);
    print "Number of people: " + numPeople;
    print "Prob. of same birthday: " + prob;
end;

生日悖论也可以用 Microsoft Excel Spreadsheet 模拟

1        =1-PERMUT(365,A1)/POWER(365,A1)
=A1+1    =1-PERMUT(365,A2)/POWER(365,A2)
=A2+1    =1-PERMUT(365,A3)/POWER(365,A3)
...      ...

应用 [编辑]

生日悖论普遍的应用于检测哈希函数:N-位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2^N次而是只有2^N/2次。这一结论被应用到破解密码学散列函数的生日攻击中。

生日问题所隐含的理论已经在[Schnabel 1938]名字叫做capture-recapture的统计试验得到应用，来估计湖里鱼的数量。

不平衡概率 [编辑]

就像上面提到的，真实世界的人口出生日期并不是平均分布的。这种非均衡生日概率问题也已经被解决。[Klamkin 1967]

近似匹配 [编辑]

此问题另外一个范化就是求得要在随机选取多少人中才能找到2个人生日相同，相差1天，2天等的概率大于50％。这是个更难的问题需要用到容斥原理。结果(假设生日依然按照平均分布)正像在标准生日问题中那样令人吃惊:

2人生日相差k天	#需要的人数
0	23
1	14
2	11
3	9
4	8
5	7
7	6

只需要随机抽取6个人，找到两个人生日相差一周以内的概率就会超过50%。

参考 [编辑]

Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake"（某湖中鱼类总量估计）, 美国数学月刊 45 (1938年), 348-352页
M. Klamkin，D. Newman: "Extensions of the birthday surprise"（生日惊喜的扩充）, Journal of Combinatorial Theory 3 (1967年),279-282页。
D. Blom: "a birthday problem"生日问题, 美国数学月刊 80 (1973年),1141-1142页。这一论文证明了当生日按照平均分布，两个生日相同的概率最小。

參考文獻 [编辑]

^ 原文：The reasoning is based on important tools that all students of mathematics should have ready access to. The birthday problem used to be a splendid illustration of the advantages of pure thought over mechanical manipulation; the inequalities can be obtained in a minute or two, whereas the multiplications would take much longer, and be much more subject to error, whether the instrument is a pencil or an old-fashioned desk computer. What calculators do not yield is understanding, or mathematical facility, or a solid basis for more advanced, generalized theories

外部链接 [编辑]

[1] 原文：The reasoning is based on important tools that all students of mathematics should have ready access to. The birthday problem used to be a splendid illustration of the advantages of pure thought over mechanical manipulation; the inequalities can be obtained in a minute or two, whereas the multiplications would take much longer, and be much more subject to error, whether the instrument is a pencil or an old-fashioned desk computer. What calculators do not yield is understanding, or mathematical facility, or a solid basis for more advanced, generalized theories

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