电势能

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。

靜電學裏,電勢能Electric potential energy)是處於電場電荷分佈所具有的勢能,與電荷分佈在系統內部的組態有關。電勢能的單位是焦耳。電勢能與電勢不同。電勢定義為處於電場的電荷所具有的電勢能每單位電荷。電勢的單位是伏特

電勢能的數值不具有絕對意義,只具有相對意義。所以,必須先設定一個電勢能為零的參考系統。當物理系統內的每一個點電荷都互相分開很遠(分開距離為無窮遠),都相對靜止不動時,這物理系統通常可以設定為電勢能等於零的參考系統。[1]:§25-1假設一個物理系統裏的每一個點電荷,從無窮遠緩慢地被遷移到其所在位置,總共所做的機械功W ,則這物理系統的電勢能 U

U =W

在這過程裏,所涉及的機械功 W ,不論是正值或負值,都是由這物理系統之外的機制賦予,並且,緩慢地被遷移的每一個點電荷,都不會獲得任何動能。

如此計算電勢能,並沒有考慮到移動的路徑,這是因為電場是保守場,電勢能只跟初始位置與終止位置有關,與路徑無關。

計算電勢能[编辑]

在一個物理系統內,計算一個點電荷所具有的電勢能的方法,就是計算將這點電荷Q從無窮遠位置遷移到其它固定位置電荷附近所需要做的機械功。而這計算只需要兩項資料:

  1. 其它電荷所產生的電勢。
  2. 這點電荷Q的電荷量。

注意到這計算不需要知道其它電荷的電荷量,也不需要知道這點電荷Q所產生的電勢。

儲存於點電荷系統內的電勢能[编辑]

單點電荷系統[编辑]

只擁有單獨一個點電荷的物理系統,其電勢能為零,因為沒有任何其它可以產生電場的源電荷,所以,將點電荷從無窮遠移動至其最終位置,外機制不需要對它做任何機械功。特別注意,這點電荷有可能會與自己生成的電場發生作用。然而,由於在點電荷的位置,它自己生成的電場為無窮大,所以,在計算系統的有限總電勢能之時,一般刻意不將這「自身能」納入考量範圍之內,以簡化物理模型,方便計算。

雙點電荷系統[编辑]

一個質子受到的另一個質子的電場力和電勢能隨 r 變化的示意圖。

思考兩個點電荷所組成的物理系統。假設第一個點電荷 q_1 的位置為坐標系的原點 \mathbf{O} ,則根據庫侖定律,點電荷 q_1 施加於位置為 \mathbf{r} 的第二個點電荷 q_2電場力

\mathbf{F}_{c}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}

其中,\epsilon_0電常數

在遷移點電荷  q_2 時,為了要抗拒電場力,外機制必需施加作用力 -\mathbf{F}_{c} 於點電荷  q_2 。所以,機械功 W

W=-\int_{\mathbb{L}}\mathbf{F}_{c}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=-\ \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{L}} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}

由於庫侖力為保守力,機械功與積分路徑 \mathbb{L} 無關,所以,可以選擇任意一條積分路徑。在這裡,最簡單的路徑為從無窮遠位置朝著 -\hat{\mathbf{r}} 方向遷移至 \mathbf{r} 位置的直線路徑。那麼,機械功為

W=-\ \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{\infty}^{r}\frac{\mathrm{d}r}{r^2}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 r}

這機械功是無窮遠位置與 \mathbf{r} 位置之間的靜電能差別:

W=U(\mathbf{r})-U(\infty)

設定 U(\infty)=0 ,則

U(\mathbf{r})=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 r}

現在,假設兩個點電荷的位置分別為 \mathbf{r}_1\mathbf{r}_2 ,則電勢能為

U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q_1 q_2}{r_{12}}

其中,r_{12}=|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1| 是兩個點電荷之間的距離。

假設兩個點電荷的正負性相異,則電勢能為負值,兩個點電荷會互相吸引;否則,電勢能為正值,兩個點電荷會互相排斥。

三個以上點電荷的系統[编辑]

對於三個點電荷的系統,外機制將其每一個單獨點電荷,一個接著一個,從無窮遠位置遷移至最終位置,所需要做的機械功,就是整個系統的靜勢能。以方程式表示,

U= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left(\frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} \right)

其中,q_1,q_2,q_3 為點電荷,r_{ij} 為第i個與第j個點電荷之間的距離。

按照這方法演算,對於多個點電荷的系統,按照順序,從第一個點電荷到最後一個點電荷,各自緩慢遷移到最後對應位置。在第 i 個點電荷 q_i 遷移時,只會感受到從第 1 個點電荷到第 i-1 個點電荷的電場力,而機械功 W_i 是因為抗拒這些電場力而做出的貢獻:

W_i= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\sum_{j=1}^{i-1} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}

所有點電荷做出的總機械功(即總電勢能)為[2]

U=W=\sum_{i=1}^n W_i= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{i-1} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}

將每一個項目重覆多計算一次,然後將總合除以 2 ,這公式也可以表達為,

U= \frac{1}{8 \pi \epsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1,j\ne i}^{n} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}

這樣,可以忽略點電荷的遷移順序。

注意到除了點電荷 q_i 以外,所有其它點電荷產生的電勢在位置 \mathbf{r}_i

\phi(\mathbf{r}_i)= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\sum_{j=1,j\ne i}^{n} \frac{q_j}{r_{ij}}

所以,離散點電荷系統的總電勢能為

U= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n q_i \phi(\mathbf{r}_i)
  • 上述方程式假設電介質是自由空間,其電容率\epsilon_0 ,即電常數。假設電介質不是自由空間,而是電容率為 \epsilon 的某種電介質,則必需將方程式內的 \epsilon_0 更換為 \epsilon

儲存於連續電荷分佈的能量[编辑]

對於連續電荷分佈,前面的電勢能方程式變為[2]

U= \frac{1}{2}\int_{\mathbb{V}} \rho(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}r^3

其中,\rho(\mathbf{r}) 是在源位置 \mathbf{r}電荷密度\mathbb{V} 是積分體積。

應用高斯定律

\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} ;

其中,\mathbf{E} 是電場。

電勢能為

\begin{align} U & = \frac{\epsilon_0}{2}\int _{\mathbb{V}} [\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r})]\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}r^3 \\
 & = \frac{\epsilon_0}{2}\int _{\mathbb{V}} \mathbf{\nabla}\cdot[\mathbf{E}(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r})]-
\mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}r^3 \\
\end{align}

應用散度定理,可以得到

U= \frac{\epsilon_0}{2}\oint_{\mathbb{S}} [\mathbf{E}(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r})]\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}^2
-\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{V}} \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}r^3

其中,\mathbb{S} 是包住積分體積 \mathbb{V} 的閉曲面。

當積分體積 \mathbb{V} 趨向於無限大時,閉曲面 \mathbb{S} 的面積趨向於以變率 r^2 遞增,而電場、電勢分別趨向於以變率 1/r^21/r 遞減,所以,上述方程式右手邊第一個面積分項目趨向於零,電勢能變為

U= -\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}} \mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r}) \mathrm{d}r^3

電場與電勢的微分關係為

\mathbf{E}=-\nabla\phi

將這方程式代入,電勢能變為

U=\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}} [E(\mathbf{r})]^2\mathrm{d}r^3

所以,電勢能密度 u

u(\mathbf{r})=\frac{\epsilon_0}{2} [E(\mathbf{r})]^2

自身能與交互作用能[编辑]

前面分別推導出兩個電勢能方程式:

U= \frac{1}{8 \pi \epsilon_0}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1,j\ne i}^{n} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}
U=\frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}} [E(\mathbf{r})]^2\mathrm{d}r^3

注意到第一個方程式計算得到的電勢能,可以是正值,也可以是負值;但從第一個方程式推導出來的第二個方程式,其計算得到的電勢能則必定是正值。為甚麼會發生這不一致問題?原因是第一個方程式只囊括了電荷與電荷之間的交互作用能;而第二個方程式在推導過程中,無可避免地將電荷的自身能也包括在內。在推導第一個方程式時,在位置 \mathbf{r}_i 的電勢乃是,除了 q_i 以外,所有其它電荷共同貢獻出的電勢;而在推導第二個方程式時,電勢乃是所有電荷共同貢獻出的電勢。

舉一個雙點電荷案例,假設電荷 q_1q_2 的位置分別為 \mathbf{r}_1\mathbf{r}_2 ,則在任意位置 \mathbf{r} 的電場為[2]

\mathbf{E}=\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2=\frac{q_1}{4\pi\epsilon_0 }\ \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|^3}+\frac{q_2}{4\pi\epsilon_0 }\ \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|^3}

其電勢能密度為

u=\frac{\epsilon_0}{2} E^2=\frac{\epsilon_0}{2}(E_1\,^2+E_2\,^2+2\mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2)

很明顯地,這方程式右手邊的前兩個項目分別為電荷 q_1q_2 的自身能密度 \epsilon_0 E_1\,^2/2\epsilon_0 E_2\,^2/2 。最後一個項目是否為交互作用能密度?為了回答這有意思的問題,繼續計算交互作用能密度的體積積分:

U_{int}=\int_{\mathbb{V}} u_{int}\ \mathrm{d}r^3
=\epsilon_0\int_{\mathbb{V}}\mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2\ \mathrm{d}r^3
=\frac{q_1 q_2}{16\pi^2\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}}\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|^3}\ \cdot\ \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|^3}\ \mathrm{d}r^3

應用一條向量恆等式

\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)=-\ \frac{(\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}

可以得到

\begin{align}U_{int} & =\frac{q_1 q_2}{16\pi^2\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\right)\ \cdot\ \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\mathrm{d}r^3 \\
 & =\frac{q_1 q_2}{16\pi^2\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}}\nabla\ \cdot\ \left[\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\right]
-\ \left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\right)\nabla^2\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)
\mathrm{d}r^3 \\
\end{align}

應用散度定理,可以將這方程式右手邊第一個項目,從體積積分變為面積積分:

\int_{\mathbb{V}}\nabla\ \cdot\ \left[\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\right]\mathrm{d}r^3 =\oint_{\mathbb{S}}\left[\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)\right]\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}^2

其中,\mathbb{S} 是包住積分體積 \mathbb{V} 的閉曲面。

假設 \mathbb{V} 趨向於無窮大空間,則這面積積分趨向於零。再應用一則關於狄拉克δ函數向量恆等式

\nabla^2 \left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)= - 4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')

可以得到

U_{int}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}}\frac{\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_2)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\ \mathrm{d}r^3=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|}

這正是雙點電荷系統的電勢能。

參考文獻[编辑]

  1. ^ Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl. Electric Potential. Fundamentals of Physics 5th. John Wiley & Sons. 1997. ISBN 0-471-10559-7. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Jackson, John David, Classical Electrodynamic. 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.. 1999:  pp. 40-43, ISBN 978-0-471-30932-1