# 电感

$\mathcal{E} = - L { \mathrm{d}i \over \mathrm{d}t}$

## 概述

### 自感

$\mathcal{E} = - N{{\mathrm{d}\Phi} \over \mathrm{d}t} = - N{{\mathrm{d}\Phi} \over \mathrm{d}i} \ { \mathrm{d}i \over \mathrm{d}t}$

$L= N \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}i}$

$\mathcal{E} = - L { \mathrm{d}i \over \mathrm{d}t}$

$v= L {{\mathrm{d}i} \over \mathrm{d}t}$

### 互感

$\Phi_{2} = M_{21} i_1$

• $M_{21} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1} \oint_{\mathbb{C}_2} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}$

### 導引

$\Phi_{2}(t)=\int_{\mathbb{S}_2}\mathbf{B}_1(\mathbf{X}_2, t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}_2$

$\mathbf{B}_1(\mathbf{X}_2, t)=\nabla_2\times\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)$

$\Phi_{2}(t)=\int_{\mathbb{S}_2}[\nabla_2\times\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)]\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}_2=\oint_{\mathbb{C}_2}\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2$

$\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0 i_1}{4\pi}\oint_{\mathbb{C}_1} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}$

$\Phi_{2}(t)=\frac{\mu_0 i_1}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1}\oint_{\mathbb{C}_2}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}$

$M_{21}=\frac{\mathrm{d}\Phi_2}{\mathrm{d}i_1}=\frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1}\oint_{\mathbb{C}_2}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2}{|\mathbf{X}_2-\mathbf{X}_1|}$

$\Phi_{1}(t)=\frac{\mu_0 i_1}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1}\oint_{\mathbb{C}'_1}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'_1}{|\mathbf{X}_1-\mathbf{X}'_1|}$

$L=\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}i}=\frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}}\oint_{\mathbb{C}'}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'}{|\mathbf{X}-\mathbf{X}'|}$

$\mathbf{X}_1=\mathbf{X}'_1$ 時，這積分可能會發散，需要特別加以處理。另外，若假設閉合迴路為無窮細小，則在閉合迴路附近，磁場會變得無窮大，磁通量也會變得無窮大，所以，必須給予閉合迴路有限尺寸，設定其截面半徑 $r_0$ 超小於徑長 $\ell_0$

### 電感與磁場能量

$N_{k}\Phi _{k}=\sum_{n=1}^{K}L_{k,n}i_{n}$

$v_{k}=-\mathcal{E}_k=N_{k}\frac{\mathrm{d}\Phi _{k}}{\mathrm{d}t} =\sum_{n=1}^{K}L_{k,n}\frac{\mathrm{d}i_{n}}{\mathrm{d}t} =L_k\frac{\mathrm{d}i_k}{\mathrm{d}t}+\sum_{n=1,\ n\ne k}^{K}M_{k,n}\frac{\mathrm{d}i_{n}}{\mathrm{d}t}$

$k$ 條閉合迴路的電功率 $p_k$

$p_k=i_k v_k$

$W_1=\int i_1 v_1 \mathrm{d}t=\int_0^{I_1} i_1 L_1\mathrm{d}i_1=\frac{1}{2}L_1 I_1^2$

$W_2=\int i_2 v_2 \mathrm{d}t=\int_0^{I_2} i_2 L_2\mathrm{d}i_2 +\int_0^{I_2} I_1 M_{1,2}\mathrm{d}i_2 =\frac{1}{2}L_2 I_2^2+M_{1,2}I_1 I_2$

$W_k=\int i_k v_k \mathrm{d}t=\int_0^{I_k} i_k L_k\mathrm{d}i_k +\sum_{n=1}^{k-1} \int_0^{I_k} I_n M_{n,k}\mathrm{d}i_k =\frac{1}{2}L_k I_k^2+\sum_{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_n I_k$

$W=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}L_k I_k^2+\sum_{k=1}^{K}\sum_{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_n I_k =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}L_k I_k^2+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}\sum_{n=1,n\ne k}^{K}M_{n,k}I_n I_k$

## 串聯與並聯電路

### 串聯電路

$v_k=L_k \frac{\mathrm{d}i_k}{\mathrm{d}t}$

$i=i_1=i_2= \cdots =i_n$

$v=v_1 +v_2 + \cdots +v_n=L_1\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} +L_2\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} + \cdots +L_n\frac{\mathrm{d}i_n}{\mathrm{d}t}=(L_1 + L_2 + \cdots + L_n)\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$

$L_{eq} = L_1 + L_2 + \cdots + L_n$

• 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相同，則稱為「串聯互助」，以方程式表示，
$L_{eq} = L_1 + L_2 +2M$
• 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相反，則稱為「串聯互消」，以方程式表示，
$L_{eq} = L_1 + L_2 - 2M$

$L_{eq} = (M_{11} + M_{22} + M_{33}) + (M_{12} + M_{13} + M_{23}) + (M_{21} + M_{31} + M_{32})$

$L_{eq} = (M_{11} + M_{22} + M_{33}) +2 (M_{12} + M_{13} + M_{23})$

#### 導引

$-v+L_1\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} +L_2\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=0$

$v=(L_1 + L_2 +2M)\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$

$L_{eq}=L_1 + L_2 +2M$

### 並聯電路

$\frac{1}{L_{eq}} =\frac{1}{L_1} +\frac{1}{L_2}+ \cdots +\frac{1}{L_n}$

• 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相同，則稱為「並聯互助」，以方程式表示，
$L_{eq}=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}$
• 假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相反，則稱為「並聯互消」，以方程式表示，
$L_{eq}=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2+2M}$

#### 導引

$-v+L_1\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}=0$
$-v+L_2\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}=0$

$\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} =\frac{L_1-M}{L_2-M}\ \frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}$

$i=i_1+i_2$

$\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} =\frac{L_2-M}{L_1+L_2-2M}\ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$

$v=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}\ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$

$L_{eq}=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}$

## 鏡像法

• 一條筆直的載流導線與導體牆之間的距離為 $d/2$
• 兩條互相平行、載有異向電流的導線，彼此之間的距離為 $d$

## 非線性電感

「大信號電感」是用來計算磁通量，以方程式定義為

$L_s(i)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{N\Phi}{i} = \frac{\Lambda}{i}$

「小信號電感」是用來計算電壓，以方程式定義為

$L_d(i)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{d(N\Phi)}{di} = \frac{d\Lambda}{di}$

$v(t) = \frac{d\Lambda}{dt} = \frac{d\Lambda}{di}\frac{di}{dt} = L_d(i)\frac{di}{dt}$

## 簡單電路的自感

$\frac{r^{2}N^{2}}{3\ell}\left\{ -8w + 4\frac{\sqrt{1+m}}{m}\left( K\left( \sqrt{\frac{m}{1+m}} \right) -\left( 1-m\right) E\left( \sqrt{ \frac{m}{1+m}} \right) \right) \right\}$

$=\frac{r^2N^2\pi}{\ell}\left\{ 1-\frac{8w}{3\pi }+\sum_{n=1}^{\infty } \frac {\left( 2n\right)!^2} {n!^4 \left(n+1\right)\left(2n-1\right)2^{2n}} \left( -1\right) ^{n+1}w^{2n}\right\}$
$=\frac {r^2N^2\pi}{\ell}\left( 1 - \frac{8w}{3\pi} + \frac{w^2}{2} - \frac{w^4}{4} + \frac{5w^6}{16} - \frac{35w^8}{64} + ... \right) \ ,\quad w\ll 1$
$= rN^2 \left\{ \left( 1 + \frac{1}{32w^2} + O(\frac{1}{w^4}) \right) \ln{8w} - 1/2 + \frac{1}{128w^2} + O(\frac{1}{w^4}) \right\} \ ,\quad w\gg 1$

$N$ ：捲繞匝數
$r$ ：半徑
$\ell$ ：長度
$w = r/l$
$m = 4w^2$
$E,K$橢圓積分

（高頻率）
$\frac {\ell}{2\pi} \ln{\frac {r_o}{r_i}}$ $r_o$ ：外半徑
$r_i$ ：內半徑
$\ell$ ：長度

$a$ ：導線半徑

$\frac{1}{\pi}\left(b\ln{\frac {2 b}{a}} + d\ln{\frac {2d}{a}} - \left(b+d\right)\left(2-\frac{Y}{2}\right) +2\sqrt{b^2+d^2} \right.$

$\left. -b\cdot\operatorname{arsinh}{\frac {b}{d}}-d\cdot\operatorname{arsinh}{\frac {d}{b}} + O\left(a\right) \right)$

$a$ ：導線半徑
$b$ ：邊長
$d$ ：邊寬
$b,d\gg a$

$\frac {\ell}{\pi} \left( \ln{\frac {d}{a}} + Y/2 \right)$ $a$ ：導線半徑
$d$ ：距離
$d\ge 2a$
$\ell$ ：長度

（高頻率）
$\frac{\ell}{\pi }\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{2a}\right) = \frac{\ell}{\pi }\ln \left( \frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{4a^{2}}-1}\right)$ $a$ ：導線半徑
$d$ ：距離
$d\ge 2a$
$\ell$ ：長度

$\frac {\ell}{2\pi} \left( \ln{\frac {2d}{a}} + Y/2 \right)$ $a$ ：導線半徑
$d$ ：距離
$d\ge a$
$\ell$ ：長度

（高頻率）
$\frac{\ell}{2\pi }\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{a}\right)=\frac{\ell}{2\pi }\ln \left(\frac{d}{a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{a^{2}}-1}\right)$ $a$ ：導線半徑
$d$ ：距離
$d\ge a$
$\ell$ ：長度

• $Y =1/2$ ：電流均勻地分佈於整個導體截面。
• $Y = 0$ ：集膚效應，電流均勻地分佈於導體表面。
• 對於高頻率案例，假若導體彼此移向對方，另外會有屏蔽電流流動於導體表面，含有參數 $Y$ 的表達式不成立。

## 參考資料

1. ^ Heaviside, O. Electrician. Feb. 12, 1886, p. 271. 見 該文集的再版
2. ^ Glenn Elert. The Physics Hypertextbook: Inductance. 1998-2008.
3. ^ Michael W. Davidson. Molecular Expressions: Electricity and Magnetism Introduction: Inductance. 1995-2008.
4. ^ Bansal, Rajeev, Fundamentals of engineering electromagnetics illustrated, CRC Press, pp. 154, 2006, ISBN 9780849373602
5. ^ Alexander, Charles; Sadiku, Matthew, Fundamentals of Electric Circuits 3, revised, McGraw-Hill, pp. 564–565, 2006, ISBN 9780073301150
6. ^ Ghosh, Smarajit, Fundamentals of Electrical and Electronics Engineering, PHI Learning Pvt. Ltd., pp. 113–117, 2004, ISBN 9788120323162
7. ^ Lorenz, L. Über die Fortpflanzung der Elektrizität. Annalen der Physik. 1879, VII: 161–193. （這表達式給出面電流流動於圓柱體表面的電感）.
8. ^ Elliott, R. S. Electromagnetics. New York: IEEE Press. 1993. 對於均勻電流分佈，答案裏不應該有常數 -3/2 。
• Frederick W. Grover. Inductance Calculations. Dover Publications, New York. 1952.
• Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998. ISBN 0-13-805326-X.