电流密度

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電磁學裏,電流密度current density)是電荷流動的密度,即電流量每單位截面面積。電流密度是一種向量,一般以符號\mathbf{J}表示。採用國際單位制,電流密度的單位是安培/公尺2(ampere/meter2,A/m2)。

定義[编辑]

大自然有很多種載有電荷的粒子,稱為「帶電粒子」,例如,導電體內可移動的電子電解液內的離子電漿內的電子和離子、強子內的夸克[1]。這些帶電粒子的移動,形成了電流。電荷流動的分佈可以由電流密度來描述:

\mathbf{J}(\mathbf{r}, t) = qn(\mathbf{r},t)\; \mathbf{v}_d(\mathbf{r},t) = \rho(\mathbf{r},t) \; \mathbf{v}_d(\mathbf{r},t)

其中,\mathbf{J}(\mathbf{r}, t)是在位置\mathbf{r}、在時間t的電流密度向量,q是帶電粒子的電荷量,n(\mathbf{r},t)是帶電粒子密度,是單位體積的帶電粒子數量,\rho(\mathbf{r},t)電荷密度\mathbf{v}_d(\mathbf{r},t)是帶電粒子的平均漂移速度

重要性[编辑]

對於電力系統電子系統的設計而言,電流密度是很重要的。電路的性能與電流量緊密相關,而電流密度又是由導體的物體尺寸決定。例如,隨著積體電路的尺寸越變越小,雖然較小的元件需要的電流也較小,為了要達到晶片內含的元件數量密度增高的目標,電流密度會趨向於增高。更詳盡細節,請參閱摩爾定律

在高頻頻域,由於趨膚效應,傳導區域會更加侷限於表面附近,因而促使電流密度增高。

電流密度過高會產生不理想後果。大多數電導體的電阻是有限的正值,會以熱能的形式消散功率。為了要避免電導體因過熱而被熔化或發生燃燒,並且防止絕緣材料遭到損壞,電流密度必須維持在過高值以下。假若電流密度過高,材料與材料之間的互連部分會開始移動,這現象稱為電遷徙electromigration)。在超導體里,過高的電流密度會產生很強的磁場,這會使得超導體自發地喪失超導性質。

對於電流密度所做的分析和觀察,可以用來探測固體內在的物理性質,包括金屬、半導體、絕緣體等等。在這科學領域,材料學家已經研究發展出一套非常詳盡的理論形式論,來解釋很多機要的實驗觀察[2]

安培力定律描述電流密度與磁場之間的關係。電流密度是安陪力定律的一個重要參數,

計算电流密度[编辑]

電流密度時常可以近似為與電場成正比,以方程式表達為

\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}

其中,\mathbf{E}电场\mathbf{J}是电流密度,\sigma电导率,是電阻率倒數

推导[编辑]

欧姆定律示意图

电阻公式闡明,一個均勻截面的物體的電阻與電阻率和導體長度成正比,與截面面積成反比。以方程式表達,

R=\rho\frac{\ell}{A}

其中,R是電阻,\ell是物體长度,A是物體的截面面积,\rho电阻率

根據歐姆定律電壓V等於電流I乘以電阻:

V=IR

所以,

V=I \rho\frac{\ell}{A}

注意到在物體內,電場與電壓的關係為

\mathbf{E}=\frac{V}{\ell}\hat{z}

其中,\hat{z}是電流方向。

所以,

\mathbf{E}=\rho\frac{I}{A}\hat{z}=\rho\mathbf{J}

電導率為電阻率的倒數,\sigma=1/\rho。電流密度與電場的關係為

\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}

精確計算[编辑]

採用更基礎性的方法來計算電流密度。這方法建立於方程式

\mathbf{J}(\mathbf{r}, t) =  \int_{-\infty}^t \mathrm{d}t' \int \mathrm{d}^3 r' \; \sigma(\mathbf{r}-\mathbf{r}', t-t') \; \mathbf{E}(\mathbf{r}',\ t')

其中,\mathbf{r}' t' 分別是位置積分變數和時間積分變數。

這方式顯示出電導率\sigma在時間方面的滯後響應,和在空間方面的非局域響應屬性。原則上,通過微觀量子分析,才能推導出來電導率函數。例如,對於足夠弱小的電場,可以從描述物質的電導性質的線性響應函數linear response function)推導[3]。經過一番沉思,可以了解,這電導率和其伴隨的電流密度反映出,在時間方面和在空間方面,電荷傳輸於介質的基本機制。

假設每當\Delta t < 0時,\varepsilon_r(\Delta t) = 0,則這積分的上限可以延伸至無窮大:

\mathbf{J}(\mathbf{r}, t) =  \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}t' \int \mathrm{d}^3 r' \; \sigma(\mathbf{r}-\mathbf{r}', t-t') \; \mathbf{E}(\mathbf{r}',\ t')

做一個對於時間與空間的傅立葉變換,根據摺積定理,可以得到

\mathbf{J}(\mathbf{k}, \omega) = \sigma(\mathbf{k}, \omega) \; \mathbf{E}(\mathbf{k}, \omega)

其中,\sigma(\mathbf{k}, \omega)是參數為波向量\mathbf{k}角頻率\omega的電導率複函數

許多物質的電導率是張量,電流可能不會與施加的電場同方向。例如,晶體物質這是這樣的物質。磁場的施加也可能會改變電導行為。

穿過曲面的電流[编辑]

电流和电流密度之间的关系

穿過曲面\mathbb{S}的電流I可以用面積分計算為

I=\int_\mathbb{S}{  \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}}

其中,\mathbf{J}是電流密度,\mathrm{d}\mathbf{a}是微小面元素。

連續方程式[编辑]

由於電荷守恆,從某設定體積流出的電流的淨流量,等於在這體積內部的電荷量的淨變率。以方程式表達,

\int_\mathbb{S}{ \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V}{\rho \ \mathrm{d}r^3} = -\ \int_\mathbb{V}{\left( \frac{\partial \rho}{\partial t} \right) \mathrm{d}r^3}

其中,\rho是電荷密度,\mathrm{d}r^3是微小體元素,\mathbb{V}是閉曲面\mathbb{S}所包圍的體積。

這方程式左邊的面積分表示電流從閉曲面\mathbb{S}所包圍的體積\mathbb{V}流出來,中間和右邊的體積分的負號表示,隨著時間的前進,體積內部的電荷量逐漸減少。

根據散度定理

\int_\mathbb{S}{ \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}} = \int_\mathbb{V}\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J} \ \mathrm{d}r^3

所以,

\int_\mathbb{V}\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J}\  \mathrm{d}r^3= - \int_\mathbb{V}\frac{\partial \rho}{\partial t}\  \mathrm{d}r^3

注意到對於任意體積\mathbb{V},上述方程式都成立。所以,兩個被積式恆等:

\nabla \cdot \mathbf{J} = -\ \frac{\partial \rho}{\partial t}

稱這方程式為連續方程式[4]

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Anthony C. Fischer-Cripps, The electronics companion, CRC Press. 2004:  pp. 13, ISBN 9780750310123 
  2. ^ Richard P Martin, Electronic Structure:Basic theory and practical methods, Cambridge University Press. 2004:  pp. 369ff, ISBN 0521782856 
  3. ^ Jørgen Rammer, Quantum Field Theory of Non-equilibrium States, Cambridge University Press. 2007:  pp. 158ff, ISBN 9780521874991 
  4. ^ Griffiths, D.J., Introduction to Electrodynamics. 3rd Edition, Pearson/Addison-Wesley. 1999:  pp. 213, ISBN 013805326X