电阻

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電磁學裏,電阻英文Resistance)是一個物體對於電流通過的阻礙能力,以方程式定義為

R\ \stackrel{def}{=}\ \frac{V}{I}

其中,R 為電阻,V 為物體兩端的電壓I 為通過物體的電流

假設這物體具有均勻截面面積,則其電阻與電阻率長度成正比,與截面面積成反比。

採用國際單位制,電阻的單位為歐姆(Ω,Ohm)。電阻的倒數電導,單位為西門子(S)

假設溫度不變,則很多種物質會遵守歐姆定律,即這些物質所組成的物體,其電阻為常數,不跟電流或電壓有關。稱這些物質為「歐姆物質」;不遵守歐姆定律的物質為「非歐姆物質」。

導體與電阻器[编辑]

一个750-kΩ的电阻器,其外表色碼标识出它的电阻值。电阻表可以用来验证它的电阻值。

電線一類的物體,具有低電阻,可以很有效率地傳輸電流,這類物體稱為「導體」。通常導體是由像一類具有優等導電性質的金屬製造,或者次等導電性質的。電阻器是具有特定電阻的電路元件。製備電阻器所使用的原料有很多種;應該使用哪種原料,要視指定的電阻、能量耗散 、準確度和成本等因素而定。

直流電[编辑]

處於均勻外電場的均勻截面導體(例如,電線)。

物理學裏,對於物質的微觀層次電性質研究,會使用到的歐姆定律,以向量方程式表達為

\mathbf{E} = \rho \mathbf{J}

其中,\mathbf{E}電場\rho電阻率 \mathbf{J}電流密度

在導體內任意兩點g、h,定義電壓為將單位電荷從點g移動到點h,電場力所需做的機械功[1]

V_{gh}\stackrel{def}{=}\  \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}q}=\int_g^h {\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}}=\rho\int_g^h {\mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}}

其中,V_{gh} 是電壓,w 是機械功,q 是電荷量,\mathrm{d} \mathbf{l} 是微小線元素。

假設,沿著積分路徑,電流密度 \mathbf{J}=J\hat{\mathbf{l}} 為均勻電流密度,並且平行於微小線元素:

\mathrm{d} \mathbf{l}=\mathrm{d} l\hat{\mathbf{l}}

其中,\hat{\mathbf{l}} 是積分路徑的單位向量。

那麼,可以得到電壓:

V_{gh}=J\rho l

其中,l 是積分路徑的徑長。

假設導體具有均勻的電阻率,則通過導體的電流密度也是均勻的:

 J = I/a

其中,a 是導體的截面面積。

電壓 V_{gh} 簡寫為 V 。電壓與電流成正比:

V=V_{gh}= I \rho l/a

總結,電阻與電阻率的關係為

R = \rho l/a

假設 J>0 ,則 V>0 ;將單位電荷從點g移動到點h,電場力需要作的機械功 w>0 。所以,點g的電勢比點h的電勢高,從點g到點h的電勢差為  - V 。從點g到點h,電壓降是 V ;從點h到點g,電壓升是 V

交流電[编辑]

假設電線傳導的電流是高頻率交流電,則由於趨膚效應,電線的有效截面面積會減小。假設平行排列幾條電線在一起,則由於鄰近效應,每一條電線的有效電阻會大於單獨電線的電阻。對於普通家用交流電,由於頻率很低,這些效應非常微小,可以忽略這些效應。

測量電阻[编辑]

四端點量測技術可以用來準確地測量點 2 與點 3 之間的電阻。

電阻計是測量電阻的儀器。由於探針電阻和接觸電阻會造成電壓降,簡單電阻器不能準確地測量低電阻。高準確度測量工作必須使用四端點量測技術four-terminal measurement technology)。

能帶理論概述[编辑]

絕緣體的電子能級。

根據量子力学,束縛於原子內部的電子,其能量不能假定為任意數值,而只能占有某些固定能级,在這些能級之間的數值不可能是電子的能量。這些能級可以分為兩组,一組稱為導帶,另一組稱價帶。導带的能級通常比較高一些。處於導帶的電子可以自由地移動於物體內部。

絕緣體半導體中,原子之間會相互影響,使得導帶和價帶之間出現禁帶,電子無法處於禁帶。為了要產生電流,必須給予電子相當大的能量,協助電子從價帶,跳過禁帶,進入導帶。因此,即使對這些物質施加很大的电壓,產生的電流仍舊很小。

各種不同材料的電阻[编辑]

金属[编辑]

金属是一群原子晶格結構形成的晶體,每個原子都擁有一层(或多层)由电子組成的外殼。處於外殼的电子能脫离原子核的吸引力而到处流动,形成一片電子海,使得金属能夠導电。當施加电勢差(即电压)於金屬兩端時,因為感受到电场的影响,這些自由电子會呈加速運動。但是每當自由電子與晶格發生碰撞,其動能會遭受損失,以熱能的形式將能量釋放,所以,電子的平均移動速度是漂移速度,其方向與電場方向相反。由於漂移運動,會產生電流。在现实中,物质的原子排列不可能為完全规则,因此电子在流动途中會被不按規则排列的原子散射,這是电阻的來源。

給予一個具有完美晶格的金屬晶體,移動於這晶體的電子,其運動等價於移動於自由空間、具有有效質量的電子的運動。所以,假設熱運動足夠微小,週期性結構沒有偏差,則這晶體的電阻等於零。但是,真實晶體並不完美,時常會出現晶體缺陷,有些晶格點的原子可能不存在,可能會被雜質侵佔。這樣,晶格的週期性會被擾動,因而電子會被散射。另外,假設溫度大於絕對零度,則處於晶格點的原子會發生熱震動,因而出現熱震動的粒子——聲子——移動於晶體。溫度越高,聲子越多。聲子會與電子發生碰撞,這過程稱為晶格散射lattice scattering)。主要由於上述兩種散射,自由電子的流動會被阻礙,晶體因此具有有限電阻[2]

半導體和絕緣體[编辑]

對於金屬,費米能級的位置在導帶區域內,因此金屬內部會出現自由的傳導電子。可是,對於半導體,費米能級的位置在能隙區域內。

本征半導體是未被摻雜的半導體,其費米能級大約為導帶最低值與價帶最高值的平均值。當溫度為絕對零度時,本征半導體內部沒有自由的傳導電子,電阻為無窮大。當溫度開始上升,高於絕對零度時,有些電子可能會獲得能量而進入傳導帶中;假設施加外電場,則這些電子在獲得外電場的能量後,會移動於金屬內部,因而形成電流。

雜質半導體是經過摻雜的半導體。靠著捐贈電子給導帶,或價帶接受空穴,外質半導體內部的雜質原子能夠增加電荷載子的密度,從而減低電阻。高度滲雜的半導體的導電性質類似金屬。在非常高溫度狀況,熱生成電荷載子的貢獻會超過雜質原子的貢獻;隨著溫度的增加,電阻會呈指數遞減。

離子液體/電解質[编辑]

电解质中,电流是由带电的离子的流动產生,因此液体的电阻很受浓度所影響。譬如蒸餾水是绝缘体,但盐水就是很好的導电体。

生物体內的细胞膜,离子盐负责电流的传送。细胞膜中的小孔道,稱為離子通道,会选择什么离子可以通过。这直接決定了细胞膜的电阻。

非歐姆元件[编辑]

電流對電壓線圖。理想電阻器和PN接面二極體的V-I線分別以紅色和黑色顯示。

有些電路元件不遵守歐姆定律,它們的電壓與電流之間的關係(V-I線)乃非線性關係。PN接面二極體是一個顯明範例。如右圖所示,隨著二極體兩端電壓的遞增,電流並沒有線性遞增。給定外電壓,可以用V-I線來估計電流,而不能用歐姆定律來計算電流,因為電阻會因為電壓的不同而改變稱這電阻為「直流電阻」。另外,只有當外電壓為正值時,電流才會顯著地遞增;當施加的電壓為負值時,電流等於零。對於這類元件,V-I線的斜率 \mathfrak{r} ,稱為小信號電阻small-signal resistance)、增量電阻incremental resistance)或動態電阻dynamic resistance),定義為

\mathfrak{r}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}I}

單位也是歐姆,是很重要的電阻量,適用於計算非歐姆元件的電性[3]

溫度對電阻的影響[编辑]

溫度对不同物质的电阻会有不同的影响。

導电体[编辑]

金屬在不同溫度狀況的電阻溫度係數[4]

假設溫度接近室溫,則典型金屬的電阻 R 通常與溫度 T正比[5]

R =R_* [\alpha (T - T_*) + 1]

其中,R_* 是典型金屬在參考溫度為 T_* 時的參考電阻,\alpha電阻溫度係數

\alpha 是電阻變化百分比每單位溫度。每一種物質都有其特定的 \alpha 。實際而言,上述關係式只是近似,真實的物理是非線性的;換句話說,\alpha 本身會隨著溫度的改變而變化。因此,通常會在 \alpha 字尾添加測量時的溫度。例如,\alpha_{15} 是在溫度為15 °C時測量的電阻溫度係數;使用 \alpha_{15} 為電阻溫度係數,則參考溫度 T_* 為15 °C,參考電阻為金屬在參考溫度為15 °C時的參考電阻,而且上述關係式只適用於計算溫度在15 °C附近的電阻 R [6]

稍加排列,這方程式又可表示為

\alpha=\frac{R - R_*}{R_*(T - T_*)}

R - R_*\to 0 的極限,則可得到微分方程式[4]

\alpha=\frac{1}{R_*}\left(\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}T}\right)_*

所以,在溫度為 T_* 時,物質的電阻溫度係數是,其電阻對溫度的曲線在溫度為 T_* 時的斜率,除以溫度為 T_* 時的電阻。

於1860年代,奧古斯土·馬西森想出馬西森定則Matthiessen's rule)。這定則表明,總電阻率 \rho 可以分為兩個項目[7]

\rho=\rho_d+\rho_p

其中,\rho_d 是由於晶體缺陷而產生的電阻率,\rho_p 是由於聲子而產生的電阻率。

\rho_d 與金屬內部的缺陷密度有關,是電阻率對溫度的曲線外推至0K時的電阻率。因此,\rho_d 與溫度無關。\rho_p 等於 \rho - \rho_d 。假若缺陷密度不高,則 \rho_p 通常與缺陷密度無關。\rho_p 與電子跟聲子的碰撞率有關,而碰撞率與聲子密度成正比。假設溫度高於德拜溫度,則聲子密度與溫度成正比,所以,\rho_p 與溫度成正比:

\rho_p= C_h T
\rho= \rho_d+C_h T

其中,C_h 是比例常數。

這方程式等價於前面電阻與溫度的關係方程式。

假設溫度低於德拜溫度,則電阻與溫度的5次方成正比[8][9][10]

\rho_p= C_l T^5

其中,C_l 是比例常數。

水銀白金黃金在不同溫度狀況的電阻[11]

如右圖所示,當溫度接近絕對溫度時,黃金白金的電阻趨向於常數;而當溫度小於4.2K時,水銀的電阻突然從0.002歐姆陡降為10-6歐姆,成為超導體

半導体[编辑]

溫度越高,本征半導體的導電性質越優良,電子會被熱能撞跳至導帶,從而可以自由的移動,也因而留下電洞於價帶,也可以自由的移動於價帶。這電阻行為以方程式表達為

R= R_0 e^{-aT}

其中,R_0a 是常數。

外質半導體的電阻對於溫度的反應比較複雜。從絕對零度開始,隨著溫度增加,由於載子迅速地離開施主或受主,電阻會急劇降低。當大多數的施主或受主都失去了載子之後,电阻会因載子的遷移率mobility)下降而隨溫度稍为上升。当溫度升得更高,外質半導體的電阻行為類似本征半導體;施主或受主的載子數量超小於因熱能而產生的載子的數量,於是电阻会再度下降[12]

绝缘体和电解质[编辑]

绝缘体和电解质的电阻與溫度一般成非線性關係,而且不同物质有不同的變化,故不在此列出概括性的算式。

超导体[编辑]

某些材料在温度接近绝对零度(-273.15°C)时会出现超导现象。

應變對電阻的影響[编辑]

導體的電阻與應變有關。假設施加張力(一種應力的形式,會引起應變,即導體伸長)於導體,則導體感受到張力的部分,其長度會增加,其截面面積會減少。這兩種效應共同貢獻,促使感受到張力的導體部分,其電阻會增加。假設施加壓力,則由於壓縮(方向相反的應變:導體縮短,截面面積增加),導體應變部分的電阻會減少。應用這效應,應變計strain gauge)可以測量物體的應變。

參看[编辑]

電路導抗
導抗參數 直流實數 交流虛數 組合(複數 單位
抗性 電阻(R) 電抗(X) 阻抗(Z) 歐姆(Ω)
導性 電導(G) 電納(B) 導納(Y) 西門子(S)


參考文獻[编辑]

  1. ^ Alexander, Charles; Sadiku, Matthew, fundamentals of Electric Circuits. 3, revised, McGraw-Hill. 2006:  pp. 9-10, ISBN 9780073301150 
  2. ^ Seymour J, Physical Electronics, pp 48–49, Pitman, 1972
  3. ^ Horowitz, Paul; Winfield Hill. The Art of Electronics 2nd. Cambridge University Press. 1989. 13. ISBN 0-521-37095-7. 
  4. ^ 4.0 4.1 Pender, Harold & Del Mar, William., Handbook for Electrical Engineers:a reference book for practicing engineers and students. 2nd, New York: John Wiley & Sons, Inc.. 1922:  pp. 1350, 2094 
  5. ^ Bird, John, Electrical and electronic principles and technology, Newnes. 2006:  pp. 22-24, ISBN 9780750685566 
  6. ^ Ward, MR, Electrical Engineering Science, pp36–40, McGraw-Hill, 1971.
  7. ^ Kittel, Charles, Introduction to Solid State Physics. 8th, John Wiley & Sons, Inc.. 2005:  148-152, ISBN 9780471415268 
  8. ^ A. Matthiessen, Rep. Brit. Ass. 32, 144 (1862)
  9. ^ A. Matthiessen, Progg. Anallen, 122, 47 (1864)
  10. ^ Enss, Christian; Hunklinger, Siegfried, Low-temperature physics. illustrated, Springer. 2005:  pp. 216-218, ISBN 9783540231646 
  11. ^ 昂內斯, 海克, Investigations into the properties of substances at low temperatures, which have led, amongst other things, to the preparation of liquid helium., Nobel Lecture. 12 1913 
  12. ^ Seymour J, Physical Electronics, chapter 2, Pitman, 1972

外部連結[编辑]

  • 克萊門森大學車輛電子實驗室網頁:電阻計算機(英文)