留数

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复分析中,留数是一个正比于一个亚纯函数某一奇点周围的路径积分的复数。(更一般地,对于任何除去离散点集{ak}之外全纯的函数 f: \mathbb{C} \setminus \{a_k\} \rightarrow \mathbb{C}都可以计算其留数,即便是离散点集中含有本质奇点)留数可以是很容易计算的,一旦知道了留数,就可以通过留数定理来计算更复杂的路径积分。

定义[编辑]

亚纯函数f孤立奇点a的留数,通常记为\operatorname{Res}(f,a)\operatorname{Res}_a(f),是使f(z)-{R \over (z-a)}穿孔圆盘0<|z-a|<\delta内具有解析原函数的唯一值R

另外,留数也可以通过求出洛朗级数展开式来计算,并且可以将留数定义为洛朗级数的系数a-1。

留数的定义可以拓展到任意黎曼曲面上。

例子[编辑]

作为例子,考虑以下的路径积分

\oint_C {e^z \over z^5}\,dz

其中C是围绕原点的任意(正向)简单闭曲线

我们来计算这个积分,不用任何标准的积分定理。现在,ez泰勒级数是众所周知的,我们可以把这个级数代入被积表达式中。则积分变为:

\oint_C {1 \over z^5}\left(1+z+{z^2 \over 2!} + {z^3\over 3!} + {z^4 \over 4!} + {z^5 \over 5!} + {z^6 \over 6!} + \cdots\right)\,dz.

我们把1/z5的项代进级数中,便得到:

\oint_C \left({1 \over z^5}+{z \over z^5}+{z^2 \over 2!\;z^5} + {z^3\over 3!\;z^5} + {z^4 \over 4!\;z^5} + {z^5 \over 5!\;z^5} + {z^6 \over 6!\;z^5} + \cdots\right)\,dz
=\oint_C \left({1 \over\;z^5}+{1 \over\;z^4}+{1 \over 2!\;z^3} + {1\over 3!\;z^2} + {1 \over 4!\;z} + {1\over\;5!} + {z \over 6!} + \cdots\right)\,dz.

现在,积分便化为更简单的形式。由于:

\oint_C {1 \over z^a} \,dz=0,\quad a \in \mathbb{Z},\quad a \ne 1.

因此任何不是cz−1形式的项都变成了零,那么积分变为:

\oint_C {1 \over 4!\;z} \,dz={1 \over 4!}\oint_C{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i) = {\pi i \over 12}.

1/4!就是ez/z5z = 0的留数,记为:

\mathrm{Res}_0 {e^z \over z^5}, \mathrm{Res}_{z=0} {e^z \over z^5}, \mathrm{Res}(f,0).

留数的计算[编辑]

设复平面内有一穿孔圆盘D = {z : 0 < |zc| < R},f是定义在D内的一个全纯函数fc的留数Res(f, c)是罗朗级数展开式的(zc)−1项的系数a−1。计算留数的值的方法有很多,具体采用那种方法取决于题目中的函数,以及奇点的性质。

根据柯西积分公式,我们有:

\operatorname{Res}(f,c) = 
{1 \over 2\pi i} \oint_\gamma f(z)\,dz

其中γ是逆时针绕着c的一条闭曲线。我们可以选择γ为绕着c的一个圆,它的半径可以任意地小。

可去奇点[编辑]

如果函数f在整个圆盘{ |zc| < R }内可以延拓全纯函数,则Res(f, c) = 0。反过来不总成立。

一阶极点[编辑]

在一阶极点,留数由以下公式给出:

\operatorname{Res}(f,c)=\lim_{z\to c}(z-c)f(z).

ghc的一个邻域内是全纯函数,h(c) = 0而g(c) ≠ 0,那么函数f(z)=g(z)/h(z)在极点c的留数为:

\operatorname{Res}(f,c) = \frac{g(c)}{h'(c)}.

较高阶极点的极限公式[编辑]

更一般地,fz = c的留数,其中cn阶极点,由以下公式给出:

 \mathrm{Res}(f,c) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to c} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left( (z-c)^{n}f(z) \right).

以上的公式对于计算低阶极点的留数是十分有用的。对于较高阶的极点,则级数展开式更加容易一些。

无穷远点的留数[编辑]

一般地,无穷远点的留数是指:

 \mathrm{Res}(f(z), \infty) = -\mathrm{Res}\left(\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right), 0\right).

如果满足下面的条件:

 \lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0,

则可以用下面的公式计算无穷远点的留数

 \mathrm{Res}(f, \infty) = -\lim_{|z| \to \infty} z \cdot f(z).

如果不满足,即

 \lim_{|z| \to \infty} f(z) = c \neq 0,

无穷远点的留数为:

 \mathrm{Res}(f, \infty) = -\lim_{|z| \to \infty} z^2 \cdot f'(z).

级数方法[编辑]

如果函数的一部分或全部可以展开为泰勒级数罗朗级数,则留数的计算比用其它的方法要容易得多。

1. 第一个例子,计算以下函数在奇点的留数:

f(z)={\sin{z} \over z^2-z}

它可以用来计算一定的路径积分。这个函数表面上在z = 0处具有奇点,但如果把分母因式分解,而把函数写成:

f(z)={\sin{z} \over z(z-1)}

则显然z = 0是可去奇点,因此z = 0处的留数为零。

唯一一个另外的奇点是z = 1。函数g(z)在z = a的泰勒级数为:

 g(z) = g(a) + g'(a)(z-a) + {g''(a)(z-a)^2 \over 2!} + {g'''(a)(z-a)^3 \over 3!}+ \cdots

因此,对于g(z) = sin za = 1,我们有:

 \sin{z} = \sin{1} + \cos{1}(z-1)+{-\sin{1}(z-1)^2 \over 2!} + {-\cos{1}(z-1)^3 \over 3!}+\cdots.

对于g(z) = 1/za = 1,我们有:

 \frac1z = \frac1 {(z-1)+1} = 1 - (z-1) + (z-1)^2 - (z-1)^3 + \cdots.

把两个级数相乘,并除以(z − 1),便得:

 \frac{\sin{z}} {z(z-1)} = {\sin{1} \over z-1} + (\cos{1}-\sin1) + (z-1) \left(-\frac{\sin{1}}{2!} - \cos1 + \sin1\right) + \cdots.

因此f(z)在z = 1的留数为sin 1。

2. 接下来的例子展示了运用级数展开来求留数,拉格朗日反演定理在这里发挥了重要作用。令

 u(z):=\sum_{k\geq 1}u_k z^k

为一个整函数,并令

v(z):=\sum_{k\geq 1}v_k z^k

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Ahlfors, Lars. Complex Analysis. McGraw Hill. 1979. 
  • Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999).

外部链接[编辑]