的士數

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n的士數(Taxicab number),一般寫作Ta(n)或Taxicab(n),定義為最小的數能以n個不同的方法表示成兩個立方數之和。1954年,G·H·哈代愛德華·梅特蘭·賴特證明對於所有正整數n這樣的數也存在。可是他們的證明對找尋的士數毫無幫助,截止現時,只找到6個的士數(OEISA011541):

\begin{matrix}\operatorname{Ta}(1)&=&2 &=& 1^3 + 1^3\end{matrix}
\begin{matrix}\operatorname{Ta}(2)&=&1729&=&1^3 &+& 12^3 \\&&&=&9^3 &+& 10^3\end{matrix}
\begin{matrix}\operatorname{Ta}(3)&=&87539319&=&167^3 &+& 436^3 \\&&&=&228^3 &+& 423^3 \\&&&=&255^3 &+& 414^3\end{matrix}
\begin{matrix}\operatorname{Ta}(4)&=&6963472309248&=&2421^3 &+& 19083^3 \\&&&=&5436^3 &+& 18948^3 \\&&&=&10200^3 &+& 18072^3 \\&&&=&13322^3 &+& 16630^3\end{matrix}
\begin{matrix}\operatorname{Ta}(5)&=&48988659276962496&=&38787^3 &+& 365757^3 \\&&&=&107839^3 &+& 362753^3 \\&&&=&205292^3 &+& 342952^3 \\&&&=&221424^3 &+& 336588^3 \\&&&=&231518^3 &+& 331954^3\end{matrix}
\begin{matrix}\operatorname{Ta}(6)&=&24153319581254312065344&=&582162^3 &+& 28906206^3 \\&&&=&3064173^3 &+& 28894803^3 \\&&&=&8519281^3 &+& 28657487^3 \\&&&=&16218068^3 &+& 27093208^3 \\&&&=&17492496^3 &+& 26590452^3 \\&&&=&18289922^3 &+& 26224366^3\end{matrix}

Ta(2)因為哈代和拉馬努金的故事而為人所知:

我(哈代)記得有次去見他(拉馬努金)時,他在Putney病得要命。我乘一輛編號1729的的士去,並記下(7·13·19)這個看來沒趣的數,希望它不是甚麼不祥之兆。「不,」他說,「這是個很有趣的數;它是最小能用兩種不同方法表示成兩個(正)立方數的數。

在Ta(2)之後,所有的的士數均有用電腦來找尋。

Ta(6)的找尋[编辑]

  • David W. Wilson證明了Ta(6) ≤ 8230545258248091551205888。
  • 1998年丹尼爾·朱利阿斯·伯恩斯坦證實391909274215699968 ≥ Ta(6) ≥ 1018
  • 2002年Randall L. Rathbun證明Ta(6) ≤ 24153319581254312065344
  • 2003年5月,Stuart Gascoigne確定Ta(6)>6.8\times10^{19},且Cristian S. Calude、Elena Calude及Michael J. Dinneen顯示Ta(6)=24153319581254312065344的機會大於99%。

參看[编辑]

參考[编辑]

  • G. H. Hardy和E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 3rd ed., Oxford University Press, London & NY, 1954, Thm. 412.
  • J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957.
  • E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = m3 + n3, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, online
  • David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online
  • D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d), Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389—394.
  • C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196-1203