的士數

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n的士數(Taxicab number),一般寫作Ta(n)或Taxicab(n),定義為最小的數能以n個不同的方法表示成兩個立方數之和。1954年,G·H·哈代愛德華·梅特蘭·賴特證明對於所有正整數n這樣的數也存在。可是他們的證明對找尋的士數毫無幫助,截止現時,只找到6個的士數(OEIS:A011541):

n Ta(n) a^3+b^3 發現日期 發現者
1 2 1,1
2 1729 1,12
9,10
1657年 Bernard Frenicle de Bessy
3 87539319 167,436
228,423
255,414
1957年 John Leech
4 6963472309248 2421,19083
5436,18948
10200,18072
13322,16630
1991年 E. Rosenstiel, J. A. Dardis, C. R. Rosenstiel
5 48988659276962496 38787,365757
107839,362753
205292,342952
221424,336588
231518,331954
1997年11月 David W. Wilson
6 24153319581254312065344 582162,28906206
3064173,28894803
8519281,28657487
16218068,27093208
17492496,26590452
18289922,26224366
2008年5月 U. Hollerbach

Ta(2)因為哈代和拉馬努金的故事而為人所知:

我(哈代)記得有次去見他(拉馬努金)時,他在Putney病得要命。我乘一輛編號1729的的士去,並記下(7·13·19)這個看來沒趣的數,希望它不是甚麼不祥之兆。「不,」他說,「這是個很有趣的數;它是最小能用兩種不同方法表示成兩個(正)立方數的數。

在Ta(2)之後,所有的的士數均有用電腦來找尋。

Ta(6)的找尋[编辑]

  • David W. Wilson證明了Ta(6) ≤ 8230545258248091551205888。
  • 1998年丹尼爾·朱利阿斯·伯恩斯坦證實391909274215699968 ≥ Ta(6) ≥ 1018
  • 2002年Randall L. Rathbun證明Ta(6) ≤ 24153319581254312065344
  • 2003年5月,Stuart Gascoigne確定Ta(6)>6.8\times10^{19},且Cristian S. Calude、Elena Calude及Michael J. Dinneen顯示Ta(6)=24153319581254312065344的機會大於99%。

參看[编辑]

參考[编辑]

  • G. H. Hardy和E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 3rd ed., Oxford University Press, London & NY, 1954, Thm. 412.
  • J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957.
  • E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = m3 + n3, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, online
  • David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online
  • D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d), Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389—394.
  • C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196-1203