皮克定理

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b=14,i=39,A=45

給定頂點座標均是整點(或正方形格點)的簡單多邊形皮克定理說明了其面積A和內部格點數目i、邊上格點數目b的關係:A = i + b/2 - 1。

證明[编辑]

因為所有簡單多邊形都可切割為一個三角形和另一個簡單多邊形。考慮一個簡單多邊形P,及跟P有一條共同邊的三角形T。若P符合皮克公式,則只要證明P加上TPT亦符合皮克公式(I),與及三角形符合皮克公式(II),就可根據數學歸納法,對於所有簡單多邊形皮克公式都是成立的。

多邊形[编辑]

PT的共同邊上有c個格點。

  • P的面積: iP + bP/2 - 1
  • T的面積: iT + bT/2 - 1
  • PT的面積:
(iT + iP + c - 2) + (bT- c + 2 + bP - c) /2 - 1
= iPT + bPT/2 - 1

三角形[编辑]

證明分三部分:證明以下的圖形符合皮克定理:

  1. 所有平行於軸線的矩形;
  2. 以上述矩形的兩條鄰邊和對角線組成的直角三角形;
  3. 所有三角形(因為它們都可內接於矩形內,將矩形分割成原三角形和至多3個第二點提到的直角三角形)。

矩形[编辑]

設矩形R長邊短邊各有m,n個格點:

  • AR = (m-1)(n-1)
  • iR = (m-2)(n-2)
  • bR = 2(m+n)-4
iR + bR/2 - 1
= (m-2)(n-2) + (m+n) - 2 - 1
= mn - (m + n) +1
= (m-1)(n-1)

直角三角形[编辑]

易見兩條鄰邊和對角線組成的兩個直角三角形全等,且i,b相等。設其斜邊上有c個格點。

  • b = m+n+c-3
  • i = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2
i + b/2 - 1
= ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 + (m+n+c-3)/2 - 1
= (m-2)(n-2)/2 + (m+n - 3)/2
= (m-1)(n-1)/2

一般三角形[编辑]

逆运用前面对2个多边形的证明: 既然矩形符合皮克定理,直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P,T符合皮克公式,则 P加上T的PT亦符合皮克公式。 那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。 于是显然有,只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候,才会使得在直角三角形符合的同时,矩形也符合。

推廣[编辑]

  • 取格點的組成圖形的面積為一單位。在平行四邊形格點,皮克定理依然成立。套用於任意三角形格點,皮克定理則是A = 2i + b - 2。
  • 對於非簡單的多邊形P,皮克定理A = i + b/2 - χ(P),其中χ(P)表示P歐拉特徵數
  • 高維推廣:Ehrhart多項式;一維:植樹問題。
  • 皮克定理和歐拉公式(V-E+F=2)等價

定理提出者[编辑]

Georg Alexander Pick,1859年生於維也納,1943年死於特萊西恩施塔特集中營

相關書籍[编辑]

外部連結[编辑]