皮尔士定律

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逻辑中的皮尔士定律得名于哲学家逻辑学家查尔斯·桑德斯·皮尔士。它被接受为他的第一个公理化命题逻辑中一个公理。这个公理可以用做排中律的替代者。

命题演算中,皮尔士定律说的是 ((P→Q)→P)→P。 也就是说,如果你能证明 P 蕴含 Q 强制 P 是真的,则 P 必定是真的。

皮尔士定律在直觉逻辑中间逻辑中是不成立的。在柯里-霍华德同构中,皮尔士定律是一种续体运算。

皮尔士定律的证明[编辑]

在只使用否定和蕴涵运算符的命题演算中,A ∨ B 表示为 (A → B) → B。皮尔士定律等价于 (P → Q) ∨ P 也就是 ¬P ∨ Q ∨ P ,所以它是排中律的推论。

与演绎定理一起使用皮尔士定律[编辑]

皮尔士定律允许你通过使用演绎定理来增强证明定理的技术。假设给你一组前提 Γ 而你希望从它们演绎出命题 Z。通过皮尔士定律,你可以向 Γ 增加(没有代价)额外的形如 Z→P 的前提。例如,假设我们给出了 P→Z 和 (P→Q)→Z 并且希望演绎出 Z,那么我们可以使用演绎定理来结论出 (P→Z)→(((P→Q)→Z)→Z) 是定理。接着我们可以增加另一个前提 Z→Q。从它和 P→Z,我们可以得到 P→Q。接着我们应用肯定前件于 (P→Q)→Z 作为它的大前提来得到 Z。运用演绎定理,我们得到 (Z→Q)→Z 从最初的前提得出。接着我们以 ((Z→Q)→Z)→Z 的形式使用皮尔士定律和肯定前件来从最初的前提推导 Z。我们就完成了最初预期的定理证明。

    • P→Z 1. 假设
      • (P→Q)→Z 2. 假设
        • Z→Q 3. 假设
          • P 4. 假设
          • Z 5. 肯定前件使用步骤 4 和 1
          • Q 6. 肯定前件使用步骤 5 和 3
        • P→Q 7. 演绎自 4 到 6
        • Z 8. 肯定前件使用步骤 7 和 2
      • (Z→Q)→Z 9. 演绎自 3 到 8
      • ((Z→Q)→Z)→Z 10. 皮尔士定律
      • Z 11. 肯定前件使用步骤 9 到 10
    • ((P→Q)→Z)→Z 12. 演绎自 2 到 11
  • (P→Z)→((P→Q)→Z)→Z) 13. 演绎自 1 到 12 QED

蕴涵命题演算的完备性[编辑]

皮尔士定律的重要体现在它可以在只使用蕴涵的逻辑中替代排中律(参见蕴涵命题演算)。可以从公理模式:

  • P→(H→P)
  • (H→(P→Q))→((H→P)→(H→Q))
  • ((P→Q)→P)→P
  • 从 P 和 P→Q 推出 Q

(这里的 P,Q,R 只包含“→”作为连结词)演绎出的句子是只使用“→”作为连结词的所有重言式。

历史[编辑]

下面是皮尔士自己的定律陈述:

第五图像(icon)需要排中原理和与它连接的其他命题。最简单的这种公式是:
{(x —< y) —< x} —< x。
这是难于自明的。如下看起来它是真的。它只能在最终结论 x 是假、而它的前提 (x —< y) —< x 是真的时候是假的。如果它是真的,要么它的结论 x 是真,这时整个公式将是真的,要么它的前提 x —< y 是假的。但是在最后一种情况下 x —< y 的前提也就是 x 必须是真的。(Peirce, CP 3.384)。

皮尔士接着指出了这个定律的一个直接应用:

从刚才给出的这个公式,我们立即就得到:
{(x —< y) —< a} —< x,
这里的 a 在 (x —< y) —< a 意味着从 (x —< y) 能得出所有命题的意义上使用的。通过这种理解,这个公式陈述了排中原理,从否认 x 为假得出 x 为真。(Peirce, CP 3.384)。

引用[编辑]

  • Peirce, C.S., "On the Algebra of Logic: A Contribution to the Philosophy of Notation", American Journal of Mathematics 7, 180–202 (1885). Reprinted, the Collected Papers of Charles Sanders Peirce 3.359–403 and the Writings of Charles S. Peirce: A Chronological Edition 5, 162–190.


参见[编辑]