皮索特-维贡伊拉卡文数

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皮索特-維貢伊拉卡文數Pisot–Vijayaraghavan number,簡稱皮索數PV數)是指一大於1的實數代數整數,且其共軛代數數的絕對值小於1。皮索數是在1912年由數學家阿克塞尔·图厄發現,後來1919年戈弗雷·哈羅德·哈代在研究丟番圖逼近時再度發現皮索數,但一直到1938年查理·皮索特英语Charles Pisot的論文發表後,皮索數才廣為人所知道。數學家維貢伊拉卡文英语Tirukkannapuram Vijayaraghavan拉斐爾·塞勒姆英语Raphael Salem在1940年代有相關的研究,塞勒姆數英语Salem number的概念就類似皮索數。

皮索數一個廣為人知的特性就是其高次方以指數方式趨近整數。皮索特證明了以下的定理:若α > 1為一實數使以下數列

 \|\alpha^n\|

平方可求和(square-summable)或2(其中||x||表示一實數x和最接近整數之間的距離),則α為皮索數(也是一代數整數)。依照皮索數的這一個特性,塞勒姆證明所有皮索數形成的集合S為一閉集合。其最小元素為一個包括三次方根的無理數,稱為塑膠數。對於皮索數集合S極限點有較多的了解,其中最小的元素就是黃金比例

定義及性質[编辑]

一個代數度n的代數整數是指一個n次不可約英语irreducible polynomial整係數首一多项式英语monic polynomialP(x)的根α,P(x)即為α的最小多項式,其他的根則為&alpha的共軛數。若 α > 1,且P(x)的其他根皆為絕對值小於1的實數或複數,都在複數平面中|x| = 1的單位圓盤中,則α就稱為皮索特-維貢伊拉卡文數、皮索數或PV數。例如黃金比例φ ≈ 1.618為一個大於一的實代數整數,其共軛數−φ−1 ≈ −0.618小於1,因此φ為一皮索數,其最小多項式為x2x − 1。

參考資料[编辑]

  • M.J. Bertin; A. Decomps-Guilloux, M. Grandet-Hugot, M. Pathiaux-Delefosse, J.P. Schreiber. Pisot and Salem Numbers. Birkhäuser. 1992. ISBN 3764326484. 
  • Peter Borwein. Computational Excursions in Analysis and Number Theory. CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag. 2002. ISBN 0-387-95444-9.  Chap. 3.
  • D.W. Boyd. Pisot and Salem numbers in intervals of the real line. Math. Comp. 1978, 32: 1244–1260. doi:10.2307/2006349. 
  • J.W.S. Cassels. An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 45. Cambridge University Press. 1957: 133–144. 
  • G. Hardy. A problem of diophantine approximation. Journal Ind. Math. Soc. 1919, 11: 205–243. 
  • C. Pisot. La répartition modulo 1 et nombres algébriques. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, II, Ser. 7. 1938: 205–248. 
  • A. Thue. Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann. Christiania Vidensk. selsk. Skrifter. 1912, 2 (20): 1–15. JFM 44.0480.04. 

外部連結[编辑]