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目 (群論)

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群論這一數學的分支裡,這一詞被使用在兩個相關連的意義上:

  • 一個是指其,即其元素的個數;
  • 一個群內的一個元素a(有時稱為週期)是指會使得am = e的最小正整數m(其中的e為這個群的單位元素,且amam次冪)。若沒有此數存在,則稱a有無限目。有限群的所有元素有有限阶。

一個群G的目被標記為ord(G)或|G|,而一個元素的目則標記為ord(a)或|a|。

例子[编辑]

例子:包含三個物件的所有置換對稱群S3會有下面的乘法表

· e s t u v w
e e s t u v w
s s e v w t u
t t u e s w v
u u t w v e s
v v w s e u t
w w v u t s e

這個群有六個元素,所以ord(S3) = 6。以定義可知,單位元素e的目為1。stw的平方都為e,所以這些群元素的目都為2。剩下的,uv的目為3,因為u2 = vu3 = vu = e,而v2 = uv3 = uv = e

目和結構[编辑]

由一個群或其內之元素的目可以大致知道群的結構。簡略地說,目的因式分解越複雜,這個群就會越複雜。

若群G的目為1,則這個群稱為平凡群。給定一元素a,則ord(a) = 1若且唯若a為其單位元素。若G內的每一個(非單位)元素和其逆元素相同(故a2 = e),則ord(a) = 2且因此G會是個阿貝爾群,因為ab=(bb)ab(aa)=b(ba)(ba)a=ba。此一敘述的相反不一定為對;例如,整數同餘6之(加法)循環群Z6為可換的,但數字2的目為3(2+2+2 = 6 ≡ 0 (mod 6))。

目兩種概念之間的關係如下:若給出一個由a產生之子群

\langle a \rangle = \{ a^{k} : k \in \mathbb{Z} \}

\operatorname{ord} (a) = \operatorname{ord}(\langle a \rangle).

對於任一個整數k,會有「ak = e   若且唯若   ord(a) 整除 k」之關係。

一般來說,G的每個子群之目都會整除G的目。更精確地來說:若HG的一個子群,則

ord(G) / ord(H) = [G : H]

,其中[G:H]是於G內的H指標,為一整數。此為拉格朗日定理

上述會有一個立即的結論為,一個群的每一個元素之目都會整除此一群的目。例如,在上面所示之對稱群中,ord(S3) = 6,且其內元素的目分別為1、2或3。

下面的部份相反對有限群為真:若d會整除一個群G的目且d為一個質數,則存在一個內G內為d目的元素(這有時被稱為柯西定理)。此一敘述在其目為合數時並不成立,如克萊因四元群中即不存在一個4目的元素。這可以用數學歸納法來證明[1]。這個定理的結論包括:一個群G的目為一個質數p的次方若且唯若對每個在G內的a,ord(a)都是p的某個次方[2]

a有無限目,則a的所有次方也都會有無限目。若a有有限目,則對於a的次方的目會有下列的公式:

ord(ak) = ord(a) / gcd(ord(a), k)。

特別地是,a和其逆元素a-1會有相同的目。

並不存在一個將ab的目關連到其乘積ab的目之一般公式。ab都有著有限目而ab則有著無限目的情形還是有可能的。若ab=ba,則至少可知ord(ab)會整除lcm(ord(a),ord(b))。其結論可證明在一個有限阿貝爾群中,若m為所有群元素的目之中的最大值,則每一個元素的目都會整除m

用元素的目來計數[编辑]

G是一個有n目的有限群,且dn的因數,則G內有d目的元素個數會為φ(d)的倍數,其中φ為歐拉函數,為不大於d互質d的正整數之個數。例如,在S3的例子中,φ(3) =2,且確實有恰好兩個3目的元素。這個定理對為2目之元素沒有什麼有用的資訊,因為φ(2) = 1。

與同態的關系[编辑]

群同態會縮減元素的目:若fG → H是一個同態,且aG內一個有限目的元素,則ord(f(a))會整除ord(a)。若f單射的,則ord(f(a)) = ord(a)。這通常可以被用來證明在兩個給定之離散群中不存在(單射)同態。(例如,不存在一個非當然同態h: S3 → Z5,因為每個在Z5內除了0之外的元素都有著5目,而不可以整除在S3內有1、2、3目的元素。)更進一步的結論有共軛元素會有相同的目。

類方程[编辑]

一個關於目的重要結論為類方程;其將有限群G的目連結至其中心Z(G)的目和其非當然共軛類的多寡:

|G| = |Z(G)| + \sum_{i}d_i\;

其中di為非當然共軛類的多寡;其為|G|大於1的純因數,且會相等於某些G的非當然純子群的指標。例如,S3的中心為只有單位元素e之當然群,而此方程則讀做|S3| = 1+2+3。

公開的問題[编辑]

一些有關群和其元素較深的問題包含在伯恩賽德問題裡;有些的問題至今仍然未解。