盲信号分离

盲信号分离指的是从多个观测到的混合信号中分析出没有观测的原始信号。通常观测到的混合信号来自多个传感器的输出，并且传感器的输出信号独立性（线性不相关）。盲信号的“盲”字强调了两点：1)原始信号并不知道；2)对于信号混合的方法也不知道。

问题基本描述

如果可以对信号混合的方式直接建模，当然是最好的方法。但是，在盲信号分离中我们并不知道，信号混合的方式，所以，只能采用统计的方法。算法做出了如下的假定：

具有$n$个独立的信号源$s_1(t),...,s_m(t)$和$n$个独立的观察量$x_1(t),...,x_n(t)$,观察量和信号源具有如下的关系

$\mathbf{x}(t)=A\mathbf{s}(t)$

其中$\mathbf{x}(t)={[x_1(t),...,x_n(t)]}^T$,$\mathbf{s}(t)={[s_1(t),...,s_m(t)]}^T$,$A$是一个${n}\times{m}$的系数矩阵，原问题变成了已知$\mathbf{x}(t)$和$\mathbf{s}(t)$的独立性，求对$\mathbf{s}(t)$的估计问题。假定有如下公式

$\mathbf{y}(t)=W\mathbf{x}(t)$

其中$\mathbf{y}(t)$是对$\mathbf{s}(t)$的估计，W是一个${m}\times{n}$系数矩阵，问题变成了如何有效的对矩阵W做出估计。

问题基本假设

1)各源信号$s_i(t)$均为零均值信号，实随机变量，信号之间统计独立。如果源信号$s_i(t)$的概率密度为$p_i(s_i)$,则$s(t)$的概率密度为:$p(s)=\prod_{i=1}^{n}p_i(s_i)$

2)源信号数目$m$小于等于观察信号数目$n$，即$m<=n$。混合矩阵$A$是一个$n\times{m}$的矩阵。假定$A$满秩。

3)源信号中只允许有一个高斯分布，当多于一个高斯分布时，源信号变得不可分。

自然梯度解法

自然梯度法的计算公式为：$W(n+1)=W(n)+\eta(n)[I-\phi(y(n))y^T(n)]W(n)$

其中$W$为我们需要估计的矩阵。$\eta(n)$为步长,$\phi(y)$是一个非线性变换，比如$\phi(y)=\phi(y^3)$

实际计算时y为一个$m\times k$矩阵，m为原始信号个数，k为采样点个数

算法描述

1)初始化W(0)为单位矩阵

2)循环执行如下的步骤,直到W(n+1)与W(n)差异小于规定值$\tau$(计算矩阵差异的方法可以人为规定)，有时候也人为规定迭代次数

3)利用公式$y(n)=W(n)y(n-1)$,(其中$y(-1)=x$)

4)利用公式$W(n+1)=W(n)+\eta(n)[I-\phi(y(n))y^T(n)]W(n)$

历史

盲信号分离最早由Herault和Jutten在1985年提出，发表在一篇法文杂志上。随后他们相继发表文章对盲信号问题做出分析，提出了一种自适应的方法。其他一些学者对他们的方法进行了分析，分析了他们提出的方法的稳定性，在他们工作的基础上，引入了神经网络的方法对盲信号进行分离，并对其稳定性进行了分析。