直径

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红线所指的线段是圆的直径。

数学尤其是几何学中,直径形的特性之一,是指穿过圆心且其兩端點皆在上的线段或者該線段的長度,一般用符号d表示。

在一般的度量空间(也就是定义了距离的空间,比如说常见的二维平面)上,也可以定义一个集合的直径。在这里直径是这个集合之中两点之间的距离最小上界

\operatorname{diam}(X) := \sup\{d(x,y):x,y\in X\}[1]

性质[编辑]

一个圆可以有无数条直径(指线段本身时),但过平面上除去圆心外的任意一点,只有一条直径。直径的一个端点叫做另一个端点的对径点。圆周上的每一个点都有且仅有一个对径点。

直径将分为面积相等的两部分(每一个部分成为一个半圆),将圆周分成长度相等的两部分。直径的中点是圆心,直徑也是圓上最長的。换句话说,圆的直径是圆周上任意两点之间的距离所能够达到的最大值。在同一个里,直径等于半径(r)的二倍。周长与直径的比值即为圆周率

给定一个圆和圆上的一条直径ABAB为圆上的点),则对圆上任意另外一点C,角ACB直角。如果点C在圆外,那么角ACB锐角,如果点C在圆内,那么角ACB钝角

尺规作图[编辑]

尺规作图中,已知一个圆及其圆心的话,只需要过圆心画直线,则直线与圆的两个交点之间的线段就是圆的直径。如果圆心未知的话,则可以用作弦的中垂线的方法作直径。具体方法是:任意作圆的一条弦,作这条弦的中垂线,则中垂线与圆的两个交点之间的线段就是圆的直径。如果在圆心未知的情况下要作过圆上一个定点的直径,则可以利用圆上一点对直径的张角成九十度的特性:首先过给定的点任作一条弦,交圆于另一点。然后过另一点作垂直于弦的直线,交圆于第三点,连接原来的给定点和第三点,就是所求的直径。

球的直径[编辑]

对于三维空间中的球体,也可以定义直径和半径。一个圆球的直径是它的任意一个大圆(过球心的平面截球体得到的圆)的直径。和圆的直径一样,球的直径也是球上两点之间的距离的最大值,过球上每一点只能作一条直径。

相关公式[编辑]

  • 圆的直径d面积S的关系为:S = \frac{\pi d^2}{4}
  • 球的直径d体积V的关系为:V = \frac{\pi d^3}{6}

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ 王戍堂, 戴锦生, 王尚志. 《点集拓扑学原理》. 陕西科学技术出版社. 1985. ,第178页
  • (中文)R.A.约翰逊,单墫 译. 《近代欧氏几何学》. 上海教育出版社. 2003. ISBN 7-5320-6392-5. 
  • (中文)贺才兴,陆少华 主编. 《大学数学手册(第二版)》. 上海交通大学出版社. 2006. ISBN 7-313-02176-3.