直接推理

直接推理是日常语言和亚里士多德的词项逻辑中常见的基本推理形式。不同于从两个直言命题得出一个直言命题的直言三段论，它从一个直言命题得出另一个直言命题，所以被称为是直接的。在传统逻辑中主要有换质法（Obversion）、换位法（Conversion）和对置法（Contraposition）。

對立四邊形

直言命题的四种类型的谓词逻辑表示：

• 全称肯定命题（A）：$\forall x(S(x) \rightarrow P(x))$，所有S都是P
• 全称否定命题（E）：$\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x))$，所有S都不是P
• 特称肯定命题（I）：$\exists x(S(x) \land P(x))$，有些S是P
• 特称否定命题（O）：$\exists x(S(x) \land \lnot P(x))$，有些S不是P

依据全称量词和存在量词之间的对偶关系（对立四边形中矛盾关系）可以直接得出：

• 全称肯定命题（A）：$\lnot \exists x(S(x) \land \lnot P(x))$，没有S不是P
• 全称否定命题（E）：$\lnot \exists x(S(x) \land P(x))$，没有S是P
• 特称肯定命题（I）：$\lnot \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x))$，并非所有S都不是P
• 特称否定命题（O）：$\lnot \forall x(S(x) \rightarrow P(x))$，并非所有S都是P

上面加粗表述是亞里士多德《解釋篇》中採用的形式。

假定了主词对应的范畴确有个体存在之后可得出蘊涵關係（又譯差等關係）：

• 全称肯定命题（A）蕴涵了特稱肯定命题（I）：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow P(x)) \Rightarrow \exists x(S(x) \land P(x))$
• 全称否定命题（E）蕴涵了特稱否定命题（O）：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \Rightarrow \exists x(S(x) \land \lnot P(x))$

在蘊涵關係和對偶關係之上可確立全稱命題間不同真關係（又譯反對關係）：

• 全称肯定命题（A）為真則全称否定命题（E）為假：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow P(x)) \Rightarrow \lnot \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x))$
• 全称否定命题（E）為真則全称肯定命题（A）為假：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow \lnot P(x)) \Rightarrow \lnot \forall x(S(x) \rightarrow P(x))$

和特稱命題之間的不同假關係（又譯下反對關係）：

• 特稱肯定命題（I）為假則特稱否定命題（O）為真：$\exists x S(x) \land \lnot \exists x(S(x) \land P(x)) \Rightarrow \exists x(S(x) \land \lnot P(x))$
• 特稱否定命題（O）為假則特稱肯定命題（I）為真：$\exists x S(x) \land \lnot \exists x(S(x) \land \lnot P(x)) \Rightarrow \exists x(S(x) \land P(x))$

換位法

换位法对调主词和谓词的位置（采用谓词逻辑就没有了传统的主词谓词差别）：

• 全称肯定命题（A）蕴涵特称肯定命题（I）：$\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow P(x)) \Rightarrow \exists x (P(x) \land S(x))$，有些P是S(假定了某个S的存在)
• 全称否定命题（E）：$\forall x(P(x) \rightarrow \lnot S(x))$，所有P都不是S
• 特称肯定命题（I）：$\exists x(P(x) \land S(x))$，有些P是S

換質法

换质法否定谓词本身而改变命题的性质，这裡有$A^{CC}=A \,$：

• 全称肯定命题（A）变为全称否定命题（E）：$\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P^C(x))$，所有S都不是非P
• 全称否定命题（E）变为全称肯定命题（A）：$\forall x(S(x) \rightarrow P^C(x))$，所有S都是非P
• 特称肯定命题（I）变为特称否定命题（O）：$\exists x(S(x) \land \lnot P^C(x))$，有些S不是非P
• 特称否定命题（O）变为特称肯定命题（I）：$\exists x(S(x) \land P^C(x))$，有些S是非P

對置法

对置法是换质后换位：

• 全称肯定命题（A）变为全称否定命题（E）：$\forall x(P^C(x) \rightarrow \lnot S(x))$，所有非P都不是S
• 全称否定命题（E）蕴涵特称肯定命题（I）：$\exists x S(x) \land \forall x (S(x) \rightarrow P^C(x)) \Rightarrow \exists x(P^C(x) \land S(x))$，有些非P是S(假定了某个S的存在)
• 特称否定命题（O）变为特称肯定命题（I）：$\exists x (P^C(x) \land S(x))$，有些非P是S

特称肯定命题（I）变为特称否定命题（O）後不能換位。

对置后再换质叫反对置法（Obverted Contraposition）：

• 全称肯定命题（A）变为全称肯定命题（A）：$\forall x(P^C(x) \rightarrow S^C(x))$，所有非P都是非S
• 全称否定命题（E）蕴涵特称否定命题（O）：$\exists x S(x) \land \forall x(S(x) \rightarrow P^C(x) ) \Rightarrow \exists x (P^C(x) \land \lnot S^C(x))$，有些非P不是非S(假定了某个S的存在)
• 特称否定命题（O）变为特称否定命题（O）：$\exists x (P^C(x) \land \lnot S^C(x))$，有些非P不是非S

参见

• 集合代数
• 直言三段论
• 传统逻辑