直接推理

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

直接推理是日常语言和亚里士多德词项逻辑中常见的基本推理形式。不同于从两个直言命题得出一个直言命题的直言三段论,它从一个直言命题得出另一个直言命题,所以被称为是直接的。在传统逻辑中主要有换质法(Obversion)、换位法(Conversion)和对置法(Contraposition)。

對立四邊形[编辑]

Square of opposition, set diagrams.svg

直言命题的四种类型的谓词逻辑表示:

  • 全称肯定命题(A):\forall x(S(x) \rightarrow P(x))所有S都是P
  • 全称否定命题(E):\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x)),所有S都不是P
  • 特称肯定命题(I):\exists x(S(x) \land P(x))有些S是P
  • 特称否定命题(O):\exists x(S(x) \land \lnot P(x)),有些S不是P

依据全称量词存在量词之间的对偶关系(对立四边形中矛盾关系)可以直接得出:

  • 全称肯定命题(A):\lnot \exists x(S(x) \land \lnot P(x)),没有S不是P
  • 全称否定命题(E):\lnot \exists x(S(x) \land P(x))没有S是P
  • 特称肯定命题(I):\lnot \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x)),并非所有S都不是P
  • 特称否定命题(O):\lnot \forall x(S(x) \rightarrow P(x))并非所有S都是P

上面加粗表述是亞里士多德解釋篇》中採用的形式。

假定了主词对应的范畴确有个体存在之后可得出蘊涵關係(又譯差等關係):

  • 全称肯定命题(A)蕴涵了特稱肯定命题(I):\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow
P(x)) \Rightarrow \exists x(S(x) \land P(x))
  • 全称否定命题(E)蕴涵了特稱否定命题(O):\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow
 \lnot P(x)) \Rightarrow \exists x(S(x) \land \lnot P(x))

在蘊涵關係和對偶關係之上可確立全稱命題間不同真關係(又譯反對關係):

  • 全称肯定命题(A)為真則全称否定命题(E)為假:\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow
P(x)) \Rightarrow \lnot \forall x(S(x) \rightarrow \lnot P(x))
  • 全称否定命题(E)為真則全称肯定命题(A)為假:\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow
 \lnot P(x)) \Rightarrow \lnot \forall x(S(x) \rightarrow P(x))

和特稱命題之間的不同假關係(又譯下反對關係):

  • 特稱肯定命題(I)為假則特稱否定命題(O)為真:\exists x S(x) \land \lnot \exists x(S(x) \land P(x)) \Rightarrow \exists x(S(x) \land \lnot P(x))
  • 特稱否定命題(O)為假則特稱肯定命題(I)為真:\exists x S(x) \land \lnot \exists x(S(x) \land \lnot P(x)) \Rightarrow \exists x(S(x) \land P(x))

換位法[编辑]

换位法对调主词和谓词的位置(采用谓词逻辑就没有了传统的主词谓词差别):

  • 全称肯定命题(A)蕴涵特称肯定命题(I):\exists x S(x) \land \forall x ( S(x) \rightarrow
P(x)) \Rightarrow \exists x (P(x) \land S(x)),有些P是S(假定了某个S的存在)
  • 全称否定命题(E):\forall x(P(x) \rightarrow \lnot S(x)),所有P都不是S
  • 特称肯定命题(I):\exists x(P(x) \land S(x)),有些P是S

換質法[编辑]

换质法否定谓词本身而改变命题的性质,这裡有A^{CC}=A \,

  • 全称肯定命题(A)变为全称否定命题(E):\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P^C(x)),所有S都不是非P
  • 全称否定命题(E)变为全称肯定命题(A):\forall x(S(x) \rightarrow P^C(x)),所有S都是非P
  • 特称肯定命题(I)变为特称否定命题(O):\exists x(S(x) \land \lnot P^C(x)),有些S不是非P
  • 特称否定命题(O)变为特称肯定命题(I):\exists x(S(x) \land P^C(x)),有些S是非P

對置法[编辑]

对置法是换质后换位:

  • 全称肯定命题(A)变为全称否定命题(E):\forall x(P^C(x) \rightarrow \lnot S(x)),所有非P都不是S
  • 全称否定命题(E)蕴涵特称肯定命题(I):\exists x S(x) \land \forall x (S(x) \rightarrow P^C(x)) \Rightarrow \exists x(P^C(x) \land S(x)),有些非P是S(假定了某个S的存在)
  • 特称否定命题(O)变为特称肯定命题(I):\exists x (P^C(x) \land S(x)),有些非P是S

特称肯定命题(I)变为特称否定命题(O)後不能換位。

对置后再换质叫反对置法(Obverted Contraposition):

  • 全称肯定命题(A)变为全称肯定命题(A):\forall x(P^C(x) \rightarrow S^C(x)),所有非P都是非S
  • 全称否定命题(E)蕴涵特称否定命题(O):\exists x S(x) \land \forall x(S(x) \rightarrow P^C(x) ) \Rightarrow \exists x (P^C(x) \land \lnot S^C(x)),有些非P不是非S(假定了某个S的存在)
  • 特称否定命题(O)变为特称否定命题(O):\exists x (P^C(x) \land \lnot S^C(x)),有些非P不是非S

参见[编辑]