直线

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三条直线:紅線與藍線有相同的斜率, 紅線與綠線有相同的截距

直綫,是一個點在平面空間沿著一定方向和其相反方向運動的軌跡;不彎曲的綫。直綫是幾何學的基本概念,在不同的幾何學體系中有著不同的描述。在這裡主要描述歐幾里得空間中的直綫。其他曲率非零狀況下的直綫,請參考非歐幾里得幾何

歐幾里得幾何研究曲率為零的二維空間下狀況,它並未對點、直綫、平面、空間給出定義,而是通過公理來描述點綫面的關係。 歐幾里得幾何中的直綫可以看作是一個點的集合,這個集合中的任意一點都在這個集合中的其他任意兩點所確定的直綫上。

“過兩點有且只有一條直綫”是歐幾里得幾何體系中的一條公理,“有且只有”意即“確定”,即兩點確定一直綫。

在幾何學中,直線沒有粗細、沒有端點、沒有方向性、具有無限的長度、具有確定的位置。

對直線進行描述[编辑]

解析幾何中用直線方程式對直線進行描述,最直接的是X軸或Y軸,又有平行於X軸或Y軸的,如X=2或Y=2。

平面的直線方程式一定用二元一次方程式表示,類型包括:

  • 點斜式: y-y_0=m\,(x-x_0)
  • 斜截式: \,y=kx+b
  • 二點式: {y-y_0 \over y_1-y_0}={x-x_0 \over x_1-x_0}
  • 截距式: {x \over a}+{y \over b}=1
  • 參數式: x=f(t)\; y=g(t)
  • 一般式: \,Ax+By+C=0
  • 向量式: \,p=at+b;点\,P(x,y),向量\vec{a}(x_0,y_0),\vec{b}(x_1,y_1)

在三维立体中

  • 向量式: p\,=at+b;点\,P(x,y,z),向量\vec{a}(x_0,y_0,z_0),\vec{b}(x_1,y_1,z_1)
  • 一般形式: a_1\,x+b_1\,y+c_1\,z=d_1 \qquad a_2\,x+b_2\,y+c_2\,z=d_2

P(x_p,y_p)到直线的最短距离[编辑]

平面點\,P(x_p,y_p),直線\,y=kx+b 垂直線 y-y_p=-{1 \over k}(x-x_p)

交点\,Q (x_q,y_q)
距离PQ:\,d^2=(x_p-x_q)^2+(y_p-y_q)^2

三维立体点\,P(x_p,y_p,z_p),直线a_1\,x+b_1\,y+c_1\,z=d_1 \qquad a_2\,x+b_2\,y+c_2\,z=d_2

点关于直线的对称点[编辑]

\ (a,b)关于直线\,Ax+By+C=0 对称的

点为

\,(a-2A \cdot \frac{Aa+Bb+C}{A^2+B^2} ,b-2B \cdot \frac{Aa+Bb+C}{A^2+B^2} )