直言三段论

直言三段论是所有前提都是直言命题的演绎推理。

例子:

所有動物都終有一死。

所有人都是動物。

所以，所有人都終有一死。

前两个命题叫做前提。如果这个三段论是有效的，这两个前提逻辑上蕴涵了最后的命题，它叫做结论。结论的真实性建立在前提的真实性和它们之间的联系之上：中项在前提中必须周延（distribute）至少一次，形成在结论中的主词和谓词之间的连接。即使直言三段论是有效的，但如果有前提为假的话结论仍可能是假。

语气和格

直言三段论的语气是依据数量和性质对它的命题做的排列（参见直言命题）。

命题可以是全称的（universal）或特称的（particular），并且可以是肯定的或否定的。所以有四种命题:

• A型：全称肯定的 - “所有S都是P”，簡寫為SaP。
• I型：特称肯定的 - “有些S是P”，簡寫為SiP。
• E型：全称否定的 - “没有S是P”，簡寫為SeP。
• O型：特称否定的 - “有些S不是P”，簡寫為SoP。

在下列这个三段论中:

所有M都是P

所有S都是M

所以，所有S都是P

语气是AAA，依据是所有的命题都是全称肯定的。

下面讨论直言三段论的格。先识别三种不同类型的项：大项、小项和中项。作为结论中的谓词出现的项是大项。在上述三段论中的P是大项。小项是作为结论中的主词出现的项；此間S是小项。通过排除法可知，中项是没有出现在结论中，卻在每个前提中都出现一次的项；此間M是中项。大项所在的前提叫大前提，小项所在的前提叫小前提。直言三段论的格經由识别中项的四种可能排列而得到。格用数字來表示：

	第1格	第2格	第3格	第4格
大前提	M-P	P-M	M-P	P-M
小前提	S-M	S-M	M-S	M-S
結論	S-P	S-P	S-P	S-P

四个格之间可相互转换：

• 第1格：不需转换。
• 第2格：对换大前提的前后两项的位置就变成第1格，对换小前提的前后两项的位置就变成第4格。
• 第3格：对换大前提的前后两项的位置就变成第4格，对换小前提的前后两项的位置就变成第1格。
• 第4格：对换大前提的前后两项的位置就变成第3格，对换小前提的前后两项的位置就变成第2格。

E和I命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A命题不能对换前后两项的位置，但可以在前项确实有元素存在的前提下，转换成与弱于原命题的I命题。O命题不能对换前后两项的位置。

上述直言三段论的正确的语气和格是AAA-1。语气和格的组合叫做形式。

有效性

考虑各种直言三段论的有效性將是非常冗长耗時的。幸运的是前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有論式。

還可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。因为有三种项，文氏图需要三个交叠的圓圈来表示每一个类。首先，为小项构造一个圓圈。临近小项的圓圈的是同小項有着交叠的大项的圓圈。在这两个圓圈之上是中项的圓圈。它应当在三个位置有着交叠：大项，小项和大项与小项交叠的地方。一個三段论是有效的，其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论，因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中，对M不与P交叠的所有区域加黑影，包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是，不能推出类P的所有成员都是类S的成员。

作为文氏圖方法的另一个例子，考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”，它的小前提是“有些S是M”，它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P;它的小项是S，它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而，我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符号来表示“有些S是M”。（注意：黑影区域和存在量化区域是互斥的）。接着因为存在符号位于S内但在P外，所以结论“存在一些S不是P”是正确的。

本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。

最后一种方法是记住下面非形式表述的六个规则以避免謬論。尽管文氏图对于诠释目的是好工具，有人更喜欢用下列规则来检验有效性:

• 直言三段论必须包含严格的三个项，不多不少（參見四项谬论）。
• 如果某一前提是否定的，则结论必须是否定的（參見否定推出肯定谬论）。
• 两个前提不能都是否定的（參見排它前提谬论）。
• 在结论中周延的项必须在前提中周延。（參見违法大项谬论，违法小项谬论）。
• 中项必须周延至少一次（參見不周延中项谬论）。
• 不能从两个全称前提中得到特称结论（參見存在性谬论）。

三段论式列表

总共有19个有效的论式（算结论弱化的5个论式上則為24個有效論式），论式的拉丁语名字是中世纪学者起的，详情请参见传统逻辑，附加给出了相应的谓词演算公式。

第1格	第2格	第3格	第4格
Barbara	Cesare	Darapti	Bramantip
Celarent	Camestres	Disamis	Camenes
Darii	Festino	Datisi	Dimaris
Ferio	Baroco	Felapton	Fesapo
		Bocardo	Fresison
		Ferison

经典三段论式

下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。

第1格

• AAA（Barbara）

所有M是P.
所有S是M.
∴所有S是P.

$\cfrac{\forall x (M(x) \rightarrow P(x)) \qquad \forall x (S(x) \rightarrow M(x))} {\forall x (S(x) \rightarrow P(x))}$

• EAE（Celarent）

没有M是P.
所有S是M.
∴没有S是P.

$\cfrac {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \qquad \forall x (S(x) \rightarrow M(x))} {\forall x (S(x) \rightarrow \lnot P(x))}$

• AII（Darii）

所有M是P.
有些S是M.
∴有些S是P.

$\cfrac {\forall x (M(x) \rightarrow P(x)) \qquad \exists x (S(x) \land M(x))} {\exists x (S(x) \land P(x))}$

• EIO（Ferio）

没有M是P.
有些S是M.
∴有些S不是P.

$\cfrac {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \qquad \exists x (S(x) \land M(x))} {\exists x (S(x) \land \lnot P(x))}$

第2格

• EAE（Cesare）

没有P是M.
所有S是M.
∴没有S是P.

$\cfrac { \cfrac { \forall x (P(x) \rightarrow \lnot M(x))} {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x))} \qquad \forall x (S(x) \rightarrow M(x))} {\forall x (S(x) \rightarrow \lnot P(x))}$

• AEE（Camestres）

所有P是M.
没有S是M.
∴没有S是P.

$\cfrac {\forall x ( P(x) \rightarrow M(x)) \qquad \cfrac {\forall x (S(x) \rightarrow \lnot M(x))} {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot S(x))}} {\cfrac {\forall x (P(x) \rightarrow \lnot S(x))} {\forall x (S(x) \rightarrow \lnot P(x))}}$

• EIO（Festino）

没有P是M.
有些S是M.
∴某些S不是P.

$\cfrac { \cfrac {\forall x (P(x) \rightarrow \lnot M(x))} {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x))} \qquad \exists x (S(x) \land M(x))} {\exists x (S(x) \land \lnot P(x))}$

• AOO（Baroco）

所有P是M.
某些S不是M.
∴某些S不是P.

$\cfrac {\cfrac {\forall x (P(x) \rightarrow M(x))} {\forall x (\lnot M(x) \rightarrow \lnot P(x))} \qquad \exists x (S(x) \land \lnot M(x))} {\exists x (S(x) \land \lnot P(x))}$

第3格

• AAI（Darapti）

所有M是P.
所有M是S.
∴有些S是P.
(这种形式需要假定某些M确实存在。)

$\cfrac { \cfrac {\forall x (M(x) \rightarrow P(x)) \qquad \forall x (M(x) \rightarrow S(x))} {\forall x (M(x) \rightarrow (P(x) \land S(x)))} \qquad \exists x M(x)} {\exist x (S(x) \land P(x))}$

• IAI（Disamis）

有些M是P.
所有M是S.
∴有些S是P.

$\cfrac {\exist x (M(x) \land P(x)) \qquad \forall (M(x) \rightarrow S(x))} {\exists x (S(x) \land P(x))}$

• AII（Datisi）

所有M是P.
有些M是S.
∴有些S是P.

$\cfrac {\forall x (M(x) \rightarrow P(x)) \qquad \exist x (M(x) \land S(x))} {\exists x (S(x) \land P(x))}$

• EAO（Felapton）

没有M是P.
所有M是S.
∴有些S不是P.
(这种形式需要假定某些M确实存在。)

$\cfrac { \cfrac {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \qquad \forall x (M(x) \rightarrow S(x))} {\forall x (M(x) \rightarrow (\lnot P(x) \land S(x)))} \qquad \exists x M(x)} {\exist x (S(x) \land \lnot P(x))}$

• OAO（Bocardo）

某些M不是P.
所有M是S.
∴某些S不是P.

$\cfrac {\exist x (M(x) \land \lnot P(x)) \qquad \forall (M(x) \rightarrow S(x))} {\exists x (S(x) \land \lnot P(x))}$

• EIO（Ferison）

没有M是P.
有些M是S.
∴某些S不是P.

$\cfrac {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \qquad \exist x (M(x) \land S(x))} {\exists x (S(x) \land \lnot P(x))}$

增补的论式

第4格由亞里士多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充。

第4格

• AAI（Bramantip）

所有P是M.
所有M是S.
∴有些S是P.
(这种形式需要假定某些P确实存在)

$\cfrac { \cfrac {\forall x (P(x) \rightarrow M(x)) \qquad \forall x (M(x) \rightarrow S(x))} {\forall x (P(x) \rightarrow S(x))} \qquad \exists x P(x)} {\exists x(S(x) \land P(x))}$

• AEE（Camenes）

所有P是M.
没有M是S.
∴没有S是P.

$\cfrac {\forall x ( P(x) \rightarrow M(x)) \qquad \forall x (M(x) \rightarrow \lnot S(x))} { \cfrac {\forall x (P(x) \rightarrow \lnot S(x))} {\forall x (S(x) \rightarrow \lnot P(x))}}$

• IAI（Dimaris）

有些P是M.
所有M是S.
∴有些S是P.

$\cfrac {\exists x ( P(x) \land M(x)) \qquad \forall x (M(x) \rightarrow \ S(x))} {\exists x (S(x) \and P(x))}$

• EAO（Fesapo）

没有P是M.
所有M是S.
∴有些S不是P.
(这种形式需要假定某些M确实存在)

$\cfrac { \cfrac {\cfrac {\forall x (P(x) \rightarrow \lnot M(x))} {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x))} \qquad \forall x (M(x) \rightarrow S(x))} {\forall x (M(x) \rightarrow (\lnot P(x) \land S(x)))} \qquad \exists x M(x)} {\exist x (S(x) \land \lnot P(x))}$

• EIO（Fresison）

没有P是M.
有些M是S.
∴有些S不是P.

$\cfrac { \cfrac {\forall x (P(x) \rightarrow \lnot M(x))} {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x))} \qquad \exists x (M(x) \land S(x))} {\exists x ( S(x) \and \lnot P(x))}$

结论弱化的论式

在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可弱化论式中的结论A为I，结论E为O，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。它们是： AAI-1（弱化的AAA-1），EAO-1（弱化的EAE-1），EAO-2（弱化的EAE-2），AEO-2（弱化的AEE-2），AEO-4（弱化的AEE-4）。

对附加的谓词演算公式的注解

按照布尔逻辑和集合代数的观点，三段论可以解释为：集合（类）S和集合M有某种二元关系，并且集合P和集合M有某种二元关系，从而推论出集合S和集合P是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种：

• A (全称肯定)命题：所有X是Y，确定了X“包含于”Y的关系，X是Y的子集，Y是X的超集，这是一种偏序关系，所有X是Y並且所有Y是Z則所有X是Y，所有X是Y並且所有Y是X則X同於Y。
• E (全称否定)命题：所有X不是Y，确定了X和Y是“无交集”的关系，这是一种对称关系，所有X不是Y同于所有Y不是X。（X与Y无交集，Y与Z无交集，不能推出X与Z无交集）。
• I (特称肯定)命题：有些X是Y，确定了X和Y是“有交集”的关系，这是一种对称关系，有些X是Y同于有些Y是X。（X与Y有交集，Y与Z有交集，不能推出X与Z有交集）。
• O (特称否定)命题：有些X不是Y，确定了X“不包含于”Y的关系。（从X不包含于Y不能推出X包含Y）。

将参与推理的命题分为两类：规则和事实，全称命题是规则，而特称命题只陈述事实：

• A命题：所有X是Y，它允许两个推理方向，从肯定的X推出肯定的Y，从否定的Y推出否定的X。
• E命题：所有X不是Y，它允许两个推理方向，从肯定的X推出否定的Y，从肯定的Y推出否定的X。
• I命题：有些X是Y，它确定了有些个体存在于X与Y的交集中。
• O命题：有些X不是Y，它确定了有些个体存在于X-Y的差集中。

两个规则可以推出一个新规则，一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实，两个存在事实什么也推不出来。A命题可以和所有四种命题一起工作。E命题还可以和I命题一起工作。两个E命题无法推理。E命题和O命题不能一起工作，因为推出的是两个否定的合取，不属于这四种命题之一。IE的組合都得出P不包含於S結論，不屬於四種命題之一。有效的論式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA這8種組合和4種格共32種情況中檢驗。

首先是推出新规则的推理。第1格和第4格的中項分別位於兩前提的主詞和謂詞位置上，所以是可直接推出結論。AA组合推出A，其中只有AAA-1是合理的，它推论出S包含於P的关系；第4格AA組合推论出P包含於S的关系，这不是四种命题之一，只能在P确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE及EA组合推出E，其中EAE-1和AEE-4是直接推出的，其中AEE-4需要對換結論E命題的主詞和謂詞位置，EAE-2和AEE-2分別是它們二者在對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。

AA和EA的第3格組合通過合成推理在中項確定有元素存在情況下形成AAI-3和EAO-3。EAO-4是EAO-3對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。AE第3格組合得出 P不包含於S的結論，不屬於四種命題之一。

其他论式都是一个全称命题作为规则，而另一个特称命题提出两个事实的合取，规则消去一个事实形成一个新事实，从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。AII-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的，其中IAI-4需要對換結論I命題的主詞和謂詞位置，AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分別是它們三者在對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。OAO-3是直接推出的，它沒有等價者。AOO-2沒有等價者，這裡對A命題採用了否定後件推理，歷史上採用反證法，假定結論O命題不成立，它與大前提A命題推出與小前提O命題矛盾的結果，所以結論成立。

歷史上，對於AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4，如它們的拉丁語名字中的p所指示的，通過把A命题是被弱化为I命题的方式引入某个集合确实有元素存在的前提。后人认为它們不是直言的（直言的意思就是无条件），这个问题被称为存在性引入问题。

最後，有全稱結論的5個論式AAA-1、EAE-1、EAE-2、AEE-2、AEE-4的弱化結論可得出AAI-1、EAO-1、EAO-2、AEO-2、AEO-4，也可算入有效論式中。

24論式圖示

文氏图

	AAA	EAE	AEE	AII	IAI	EIO	AOO	OAO	EAO	AAI	AAI		AAI	EAO	AEO
第1格	Barbara	Celarent		Darii		Ferio							Barbari	Celaront
第2格		Cesare	Camestres			Festino	Baroco							Cesaro	Camestros
第3格				Datisi	Disamis	Ferison		Bocardo	Felapton	Darapti
第4格			Camenes		Dimaris	Fresison			Fesapo		Bramantip				Calemos

参见

• 直接推理
• 传统逻辑
• 谓词演算

引用

• Aristotle, Prior Analytics. transl. Robin Smith (Hackett, 1989) ISBN 0-87220-064-7.
• Blackburn, Simon, 1996. "Syllogism" in the Oxford Dictionary of Philosophy. Oxford University Press. ISBN 0-19-283134-8.
• Broadie, Alexander, 1993. Introduction to Medieval Logic. Oxford University Press. ISBN 0-19-824026-0.
• Irving Copi, 1969. Introduction to Logic, 3rd ed. Macmillan Company.
• Hamblin, Charles L., 1970. Fallacies, Methuen : London, ISBN 0-416-70070-5. Cf. on validity of syllogisms: "A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.“
• Jan Łukasiewicz, 1987 (1957). Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic. New York: Garland Publishers. ISBN 0824069242. OCLC 15015545.

外部鏈接

• "Aristotle's Logic" article by Robin Smith in the Stanford Encyclopedia of Philosophy
• "The Traditional Square of Opposition" article by Terence Parsons in the Stanford Encyclopedia of Philosophy
• "Medieval Theories of the Syllogism" article by Henrik Lagerlund in the Stanford Encyclopedia of Philosophy
• Aristotle's Prior Analytics: the Theory of Categorical Syllogism an annotated bibliography on Aristotle's syllogistic
• Abbreviatio Montana article by Prof. R. J. Kilcullen of Macquarie University on the medieval classification of syllogisms.
• The Figures of the Syllogism is a brief table listing the forms of the syllogism.
• www.fibonicci.co.uk/syllogisms some fun syllogism tests/quizzes
• Syllogistic Reasoning in Buddhism - Example & Worksheet