直言三段论

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直言三段论是所有前提都是直言命题演绎推理

例子:

所有動物都會死。
所有人都是動物。
所以,所有人都會死。

前兩個命題叫做前提。如果這個三段論是有效的,這兩個前提邏輯上蘊含了最後的命題,它叫做結論。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上:中項在前提中必須周延(distribute)至少一次,形成在結論中的主詞和謂词之間的連接。即使直言三段論是有效的,但如果有前提為假的話結論仍可能是假。

语气和格[编辑]

對立四邊形圖,揭示傳統邏輯四種命題語氣的關係(紅色表示非空,黑色表示空)

三段論形式如下:

大前提:所有M是P
小前提:所有S是M
結論:所有S是P

其中S代表結論的主詞(Subject),P代表結論的謂詞(Predicate),M代表中詞(Middle)。

三段論的命題可分為全称(universal)、特称(particular),及肯定、否定,組合起來有以下四類語氣(Mood):

類型 代號 形式 範例
全稱肯定型 A (SaP) 所有S是P 所有人是會死的
全稱否定型 E (SeP) 沒有S是P 沒有人是完美的
特稱肯定型 I (SiP) 有些S是P 有些人是健康的
特稱否定型 O (SoP) 有些S不是P 有些人不是健康的

三段論中,結論中的謂詞稱作大詞(P,或稱大項),包含大詞在內的前提稱作大前提;結論中的主詞稱作小詞(S,或稱小項),包含小詞在內的前提稱作小前提;沒有出現在結論,卻在兩個前提重複出現的稱作中詞(M,或稱中項)。大詞、中詞、小詞依不同排列方式,可分成四種(Figure):

第1格 第2格 第3格 第4格
大前提 M-P P-M M-P P-M
小前提 S-M S-M M-S M-S
結論 S-P S-P S-P S-P

將以上整合在一起,三段論的大前提、小前提、結論分別可為A、E、I、O型命題之一,又可分為4格,故總共有256種三段論(若考慮大前提與小前提對調,便有512種,但邏輯上是相同的)。

三段論依語氣與格的分類縮寫,例如AAA-1代表「大前提為A型,小前提為A型,結論為A型,第1格」的三段論。

此外,三段論的四種格之间可相互转换:

  • 第1格:不需转换。
  • 第2格:对换大前提的前后两项的位置就变成第1格,对换小前提的前后两项的位置就变成第4格。
  • 第3格:对换大前提的前后两项的位置就变成第4格,对换小前提的前后两项的位置就变成第1格。
  • 第4格:对换大前提的前后两项的位置就变成第3格,对换小前提的前后两项的位置就变成第2格。

E和I命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A命题不能对换前后两项的位置,但可以在前项确实有元素存在的前提下,转换成与弱于原命题的I命题。O命题不能对换前后两项的位置。

有效性[编辑]

考虑各种直言三段论的有效性將是非常冗长耗時的。幸运的是前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有論式。

還可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。因为有三种项,文氏图需要三个交叠的圓圈来表示每一个类。首先,为小项构造一个圓圈。临近小项的圓圈的是同小項有着交叠的大项的圓圈。在这两个圓圈之上是中项的圓圈。它应当在三个位置有着交叠:大项,小项和大项与小项交叠的地方。一個三段论是有效的,其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论,因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中,对M不与P交叠的所有区域加黑影,包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是,不能推出类P的所有成员都是类S的成员。

Modus Barbara.svg

作为文氏圖方法的另一个例子,考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”,它的小前提是“有些S是M”,它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P;它的小项是S,它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而,我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符号来表示“有些S是M”。(注意:黑影区域和存在量化区域是互斥的)。接着因为存在符号位于S内但在P外,所以结论“存在一些S不是P”是正确的。

Modus Ferio.svg

本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。

最后一种方法是记住下面非形式表述的幾條规则以避免謬論。尽管文氏图对于诠释目的是好工具,有人更喜欢用這些规则来检验有效性。

基本規則:

  1. 結論中周延的詞必須在前提中周延(謬誤:大詞不當小詞不當
  2. 中詞必須周延至少一次(謬誤:中詞不周延
  3. 結論中否定命題的數目必須和前提中否定命題的數目相等:

其他檢查:

  • 如果語境上不能假設所有提及的集合非空,部分推論將會無效(謬誤:存在謬誤
  • 必須包含嚴格的三個詞,不多不少。且須注意所有關鍵詞和結構的語義是否一致(謬誤:四詞謬誤歧義謬誤

三段论式列表[编辑]

总共有19个有效的论式(算结论弱化的5个论式則為24個有效論式),為便於記憶,中世纪的学者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語名字,每個名字的元音即是對應的語氣,例如Barbara代表AAA

第1格 第2格 第3格 第4格
Barbara Cesare Darapti Bramantip
Celarent Camestres Disamis Camenes
Darii Festino Datisi Dimaris
Ferio Baroco Felapton Fesapo
    Bocardo Fresison
    Ferison  

经典三段论式[编辑]

下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。

第1格[编辑]

  • AAA(Barbara)

所有M是P.
所有S是M.
∴所有S是P.

 \cfrac{\forall x (M(x) \rightarrow P(x)) \qquad \forall x (S(x) \rightarrow M(x))}
             {\forall x (S(x) \rightarrow P(x))}

  • EAE(Celarent)

没有M是P.
所有S是M.
∴没有S是P.

 \cfrac {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \qquad \forall x (S(x) \rightarrow M(x))}
              {\forall x (S(x) \rightarrow \lnot P(x))}

  • AII(Darii)

所有M是P.
有些S是M.
∴有些S是P.

 \cfrac {\forall x (M(x) \rightarrow P(x)) \qquad \exists x (S(x) \land M(x))}
              {\exists x (S(x) \land P(x))}

  • EIO(Ferio)

没有M是P.
有些S是M.
∴有些S不是P.

 \cfrac {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \qquad \exists x (S(x) \land M(x))}
              {\exists x (S(x) \land \lnot P(x))}

第2格[编辑]

  • EAE(Cesare)

没有P是M.
所有S是M.
∴没有S是P.

 \cfrac { \cfrac { \forall x (P(x) \rightarrow \lnot M(x))} {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x))}  \qquad \forall x (S(x) \rightarrow M(x))}
              {\forall x (S(x) \rightarrow \lnot P(x))}

  • AEE(Camestres)

所有P是M.
没有S是M.
∴没有S是P.

 \cfrac {\forall x ( P(x) \rightarrow M(x)) \qquad \cfrac {\forall x (S(x) \rightarrow \lnot M(x))} {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot S(x))}}
             {\cfrac {\forall x (P(x) \rightarrow \lnot S(x))} {\forall x (S(x) \rightarrow \lnot P(x))}}

  • EIO(Festino)

没有P是M.
有些S是M.
∴某些S不是P.

 \cfrac { \cfrac {\forall x (P(x) \rightarrow \lnot M(x))} {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x))} \qquad \exists x (S(x) \land M(x))}
              {\exists x (S(x) \land \lnot P(x))}

  • AOO(Baroco)

所有P是M.
某些S不是M.
∴某些S不是P.

 \cfrac {\cfrac {\forall x (P(x)  \rightarrow M(x))} {\forall x (\lnot M(x) \rightarrow \lnot P(x))} \qquad \exists x (S(x) \land \lnot M(x))}
              {\exists x (S(x) \land \lnot P(x))}

第3格[编辑]

  • AAI(Darapti)

所有M是P.
所有M是S.
∴有些S是P.
(这种形式需要假定某些M确实存在。)[1]

 \cfrac {
              \cfrac {\forall x (M(x) \rightarrow P(x))  \qquad \forall x (M(x) \rightarrow S(x))}
              {\forall x (M(x) \rightarrow  (P(x) \land S(x)))} \qquad \exists x M(x)}
              {\exist x (S(x) \land P(x))}

  • IAI(Disamis)

有些M是P.
所有M是S.
∴有些S是P.

 \cfrac {\exist x (M(x) \land P(x)) \qquad \forall (M(x) \rightarrow S(x))}
              {\exists x (S(x)  \land P(x))}

  • AII(Datisi)

所有M是P.
有些M是S.
∴有些S是P.

 \cfrac {\forall x (M(x) \rightarrow P(x)) \qquad \exist x (M(x) \land S(x))}
              {\exists x (S(x) \land P(x))}

  • EAO(Felapton)

没有M是P.
所有M是S.
∴有些S不是P.
(这种形式需要假定某些M确实存在。)[2]

 \cfrac {
              \cfrac {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x))  \qquad \forall x (M(x) \rightarrow S(x))}
              {\forall x (M(x) \rightarrow  (\lnot P(x) \land S(x)))} \qquad \exists x M(x)}
              {\exist x (S(x) \land \lnot P(x))}

  • OAO(Bocardo)

某些M不是P.
所有M是S.
∴某些S不是P.

 \cfrac {\exist x (M(x) \land \lnot P(x)) \qquad \forall (M(x) \rightarrow S(x))}
              {\exists x (S(x) \land \lnot P(x))}

  • EIO(Ferison)

没有M是P.
有些M是S.
∴某些S不是P.

 \cfrac {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \qquad \exist x (M(x) \land S(x))}
              {\exists x (S(x) \land \lnot P(x))}

增补的论式[编辑]

第4格由亞里士多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充[3]

第4格[编辑]

  • AAI(Bramantip)

所有P是M.
所有M是S.
∴有些S是P.
(这种形式需要假定某些P确实存在)[4]

 \cfrac {
              \cfrac {\forall x (P(x) \rightarrow M(x)) \qquad  \forall x (M(x) \rightarrow S(x))}
                     {\forall x (P(x) \rightarrow S(x))} \qquad \exists x P(x)}
              {\exists x(S(x) \land P(x))}

  • AEE(Camenes)

所有P是M.
没有M是S.
∴没有S是P.

 \cfrac {\forall x ( P(x) \rightarrow M(x)) \qquad \forall x (M(x) \rightarrow \lnot S(x))}
              { \cfrac {\forall x (P(x) \rightarrow \lnot S(x))} {\forall x (S(x) \rightarrow \lnot P(x))}}

  • IAI(Dimaris)

有些P是M.
所有M是S.
∴有些S是P.

 \cfrac {\exists x ( P(x) \land M(x)) \qquad \forall x (M(x) \rightarrow \ S(x))}
              {\exists x (S(x) \and P(x))}

  • EAO(Fesapo)

没有P是M.
所有M是S.
∴有些S不是P.
(这种形式需要假定某些M确实存在)[5]

 \cfrac {
              \cfrac {\cfrac {\forall x (P(x) \rightarrow \lnot M(x))} {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x))}  \qquad \forall x (M(x) \rightarrow S(x))}
              {\forall x (M(x) \rightarrow  (\lnot P(x) \land S(x)))} \qquad \exists x M(x)}
              {\exist x (S(x) \land \lnot P(x))}

  • EIO(Fresison)

没有P是M.
有些M是S.
∴有些S不是P.

 \cfrac { \cfrac {\forall x (P(x) \rightarrow \lnot M(x))} {\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x))} \qquad \exists x (M(x) \land S(x))}
              {\exists x ( S(x) \and \lnot P(x))}

结论弱化的论式[编辑]

在假定结论的主词确定有成员存在的前提下,可弱化论式中的结论A为I,结论E为O,它们也可以被增补为有效论式,从而得到所有可能的24有效论式。它们是: AAI-1(弱化的AAA-1),EAO-1(弱化的EAE-1),EAO-2(弱化的EAE-2),AEO-2(弱化的AEE-2),AEO-4(弱化的AEE-4)。

对附加的谓词演算公式的注解[编辑]

按照布尔逻辑集合代数的观点,三段论可以解释为:集合)S和集合M有某种二元关系,并且集合P和集合M有某种二元关系,从而推论出集合S和集合P是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种:

  • A (全称肯定)命题:所有X是Y,确定了X“包含于”Y的关系,X是Y的子集,Y是X的超集,这是一种偏序关系,所有X是Y並且所有Y是Z則所有X是Y,所有X是Y並且所有Y是X則X同於Y。
  • E (全称否定)命题:所有X不是Y,确定了X和Y是“无交集”的关系,这是一种对称关系,所有X不是Y同于所有Y不是X。(X与Y无交集,Y与Z无交集,不能推出X与Z无交集)。
  • I (特称肯定)命题:有些X是Y,确定了X和Y是“有交集”的关系,这是一种对称关系,有些X是Y同于有些Y是X。(X与Y有交集,Y与Z有交集,不能推出X与Z有交集)。
  • O (特称否定)命题:有些X不是Y,确定了X“不包含于”Y的关系。(从X不包含于Y不能推出X包含Y)。

将参与推理的命题分为两类:规则事实,全称命题是规则,而特称命题只陈述事实:

  • A命题:所有X是Y,它允许两个推理方向,从肯定的X推出肯定的Y,从否定的Y推出否定的X。
  • E命题:所有X不是Y,它允许两个推理方向,从肯定的X推出否定的Y,从肯定的Y推出否定的X。
  • I命题:有些X是Y,它确定了有些个体存在于X与Y的交集中。
  • O命题:有些X不是Y,它确定了有些个体存在于X-Y的差集中。

两个规则可以推出一个新规则,一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实,两个存在事实什么也推不出来。A命题可以和所有四种命题一起工作。E命题还可以和I命题一起工作。两个E命题无法推理。E命题和O命题不能一起工作,因为推出的是两个否定合取,不属于这四种命题之一。IE的組合都得出P不包含於S結論,不屬於四種命題之一。有效的論式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA這8種組合和4種格共32種情況中檢驗。

首先是推出新规则的推理。第1格和第4格的中項分別位於兩前提的主詞和謂詞位置上,所以是可直接推出結論。AA组合推出A,其中只有AAA-1是合理的,它推论出S包含於P的关系;第4格AA組合推论出P包含於S的关系,这不是四种命题之一,只能在P确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE及EA组合推出E,其中EAE-1和AEE-4是直接推出的,其中AEE-4需要對換結論E命題的主詞和謂詞位置,EAE-2和AEE-2分別是它們二者在對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。

AA和EA的第3格組合通過合成推理在中項確定有元素存在情況下形成AAI-3和EAO-3。EAO-4是EAO-3對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。AE第3格組合得出 P不包含於S的結論,不屬於四種命題之一。

其他论式都是一个全称命题作为规则,而另一个特称命题提出两个事实的合取,规则消去一个事实形成一个新事实,从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。AII-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的,其中IAI-4需要對換結論I命題的主詞和謂詞位置,AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分別是它們三者在對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。OAO-3是直接推出的,它沒有等價者。AOO-2沒有等價者,這裡對A命題採用了否定後件推理,歷史上採用反證法,假定結論O命題不成立,它與大前提A命題推出與小前提O命題矛盾的結果,所以結論成立。

歷史上,對於AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4,如它們的拉丁語名字中的p所指示的,通過把A命题是被弱化为I命题的方式引入某个集合确实有元素存在的前提。后人认为它們不是直言的(直言的意思就是无条件),这个问题被称为存在性引入问题

最後,有全稱結論的5個論式AAA-1、EAE-1、EAE-2、AEE-2、AEE-4的弱化結論可得出AAI-1、EAO-1、EAO-2、AEO-2、AEO-4,也可算入有效論式中。

24論式圖示[编辑]

下表以文氏图展示24個有效直言三段論,不同欄表示不同的前提,不同外框顏色表示不同的結論,需要存在性預設的推理以虛線標示。

AA AE AI AO EI
1 Modus Barbara.svg
Barbara
Modus Barbari.svg
Barbari
Modus Celarent.svg
Celarent
Modus Celaront.svg
Celaront
Modus Darii.svg
Darii
Modus Ferio.svg
Ferio
2 Modus Camestres.svg
Camestres
Modus Camestros.svg
Camestros
Modus Cesare.svg
Cesare
Modus Cesaro.svg
Cesaro
Modus Baroco.svg
Baroco
Modus Festino.svg
Festino
3 Modus Darapti.svg
Darapti
Modus Felapton.svg
Felapton
Modus Datisi.svg
Datisi
Modus Disamis.svg
Disamis
Modus Bocardo.svg
Bocardo
Modus Ferison.svg
Ferison
4 Modus Bamalip.svg
Bamalip
Modus Calemes.svg
Calemes
Modus Calemos.svg
Calemos
Modus Fesapo.svg
Fesapo
Modus Dimatis.svg
Dimatis
Modus Fresison.svg
Fresison

参见[编辑]

註解[编辑]

  1. ^ 直接結論是:所有M是P且S.
  2. ^ 直接結論是:所有M是S且非P.
  3. ^ 亞里士多德前分析篇》裡關於AEE-2的論證中,對小前提進行對換主詞與謂詞位置之後,得出第4格的AEE-4,亞里士多德稱之為再次得到了第1格,沒有因為大項和小項位置顛倒而專門稱之為第4格。在亞里士多德的定義中第1格為中項既是一個前提的主詞又是另一個前提的謂詞。第4格中有4個論式是其他格的等價形式、1個論式是結論弱化形式,因此亞里士多德三段論體系並無缺失。
  4. ^ 直接結論是:所有P是S.
  5. ^ 直接結論是:所有M是S且非P.

引用[编辑]

外部鏈接[编辑]

传统逻辑三段論
形式直言三段论 | 选言三段论 | 假言三段论 | 复合三段论 | 準三段論 | 统计三段论
其他对立四边形 | 布尔三段论 | 三段论谬论