相互作用繪景

相互作用繪景又稱為狄拉克繪景，是量子力學裏的一种数学表达方式，處於薛丁格繪景與海森堡繪景之間。薛丁格繪景專注研究量子系統的量子態隨著時間而演化的行為、時間演化算符怎樣影響量子態。這與海森堡繪景、狄拉克繪景明顯不同。海森堡繪景專注研究對應於可觀察量的算符隨著時間而演化的行為、時間演化算符怎樣影響這些算符。狄拉克繪景則研究量子態與對應於可觀察量的算符隨著時間而演化的行為、時間演化算符怎樣影響量子態與這些算符。雖然有這樣的差異，這三種繪景的測量統計結果完全相同。這是必然的。因為，它們都是在表達同樣的物理現象。^[1]^:80-84^[2]^[3]

在相互作用繪景裏成立的方程式，可能會含有作用於不同時間的算符。這方程式，在薛丁格繪景或海森堡繪景裏，不一定成立。使用含時么正變換 (unitary transformation) ，在一種繪景裏的算符，可以變換為在另外一種繪景裏對應的算符。

不是每本教科書或論文都會明確地表示出，所指的算符到底是出自於哪一種繪景。這時常會造成困惑或錯誤。

定義 [编辑]

通過基底的變換（么正變換），在相互作用繪景裏的算符和態向量，與在薛丁格繪景裏對應的算符和態向量相關聯。

為了要變換到相互作用繪景，必須將薛丁格繪景裏的哈密頓量 $H_S\,\!$ （下標 $S\,\!$ 標記薛丁格繪景），分開為兩部分： $H_S = H_{0,\,S} + H_{1,\,S}\,\!$ 。任何可能的分開法，在相互作用繪景裏，都是正確的；可是，為了要能夠有效地簡化問題的解析，通常， $H_{0,\,S}\,\!$ 部分有精確解，有廣泛知悉的物理行為，而 $H_{1,\,S}\,\!$ 則包括了比較難解析的微擾。

假若，哈密頓量含時間（例如，有一個隨時間變化的外電場，作用於量子系統）。通常，比較好的方法，是將顯性地含時間的部分，放在 $H_{1,\,S}\,\!$ 裏，而 $H_{0,\,S}\,\!$ 部分則不含時間。

假若，發生某種狀況，使得 $H_{0,\,S}\,\!$ 含時間 $t\,\!$ ，則可以更改表達式 $e^{ - i H_{0,\,S}\,t/\hbar}\,\!$ 為對應的時間演化算符 $U(t)\,\!$ 的表達式：

$U(t)=e^{ - i/\hbar \int\limits _0^t H(t^')\, dt^'}\,\!$ 。

以下內容，假設哈密頓量的 $H_{0,\,S}\,\!$ 部分不含時間。

態向量 [编辑]

在相互作用繪景裏的態向量 $| \psi_{I}(t) \rang\,\!$ （下標 $I\,\!$ 標記相互作用繪景）定義為

$| \psi_{I}(t) \rang = e^{i H_{0,\,S}\,t / \hbar} | \psi_{S}(t) \rang\,\!$ ；(1)

其中， $| \psi_{S}(t) \rang \,\!$ 是在薛丁格繪景裏對應的態向量。

由於，

$| \psi_{S}(t) \rang = e^{ - iH_S\,t / \hbar} | \psi_{S}(0) \rangle\,\!$ ，

所以，

$| \psi_{I}(t) \rang = e^{ - i H_{1,\,S}\,t / \hbar} | \psi_{S}(0) \rang\,\!$ 。

算符 [编辑]

在相互作用繪景裏的算符 $A_{I}(t)\,\!$ 定義為

$A_{I}(t) = e^{i H_{0,\,S}\,t / \hbar} A_{S}(t)\, e^{ - i H_{0,\,S}\,t / \hbar}\,\!$ ；

其中， $A_{S}(t)\,\!$ 是在薛丁格繪景裏對應的算符。

（請注意， $A_S(t)\,\!$ 通常不含時間，可以重寫為 $A_S\,\!$ 。反例，當算符代表隨時間變化的外電場的時候， $A_S(t)\,\!$ 會含時間。）

哈密頓算符 [编辑]

因為 $H_{0,\,S}\,\!$ 與 $e^{i H_{0,\,S}\,t / \hbar}\,\!$ 對易，不論在薛丁格繪景裏或在相互作用繪景裏， $H_{0,\,S}\,\!$ 與 $H_{0,\,I}\,\!$ 的形式都是一樣的：

$H_{0,\,I}(t) = e^{i H_{0,\,S}\,t / \hbar} H_{0,\,S}\, e^{ - i H_{0,\,S}\,t / \hbar} = H_{0,\,S}\,\!$ 。

所以，這個算符可以標記為 $H_0\,\!$ ，不會有任何模稜兩可的意義。

在相互作用繪景裏， $H_{0,\,S}\,\!$ 也可能含時間。這時候可以更改表達式 $e^{\pm i H_{0,\,S}\,t/\hbar}\,\!$ 為對應的時間演化算符 $U(t)\,\!$ 的表達式：

$U(t) =e^{ - i/\hbar \int\limits _0^t H(t^')\, dt^'}\,\!$ 。

微擾哈密頓量 $H_{1,\,I}\,\!$ 是

$H_{1,\,I}(t) = e^{i H_{0,\,S}\,t / \hbar} H_{1,\,S}\, e^{ - i H_{0,\,S}\,t / \hbar}\,\!$ ；(2)

除非 $[H_{1,\,S},H_{0,\,S}]=0\,\!$ ，在相互作用繪景裏的微擾哈密頓量含時間。

密度矩陣 [编辑]

與算符類似，在薛丁格繪景裏的密度矩陣也可以變換到在相互作用繪景裏。設定 $\rho_I\,\!$ 和 $\rho_S\,\!$ 分別為在相互作用繪景裏和在薛丁格繪景裏的密度矩陣。假若，處於量子態 $|\psi_n\rang\,\!$ 的機率是 $p_n\,\!$ ，則

$\begin{align}\rho_I(t) & = \sum_n p_n|\psi_{n,\,I}(t)\rang \lang \psi_{n,\,I}(t)| \\ & = \sum_n p_n\, e^{i H_{0,\,S}\,t / \hbar}|\psi_{n,\,S}(t)\rang \lang \psi_{n,\,S}(t)|e^{ - i H_{0,\,S}\,t / \hbar} \\ & = e^{i H_{0,\,S}\,t / \hbar} \rho_S(t)\,e^{ - i H_{0,\,S}\,t / \hbar} \\ \end{align}\,\!$ 。

時間演化方程式 [编辑]

量子態的時間演化 [编辑]

方程式 (1) 兩邊隨時間的導數是

$\begin{align} i \hbar \frac{d}{dt} | \psi_{I} (t) \rang & = e^{i H_{0,\,S}\,t / \hbar}\left[ - H_{0,\,S}| \psi_{s}(t) \rang +i \hbar \frac{d}{dt} | \psi_{S} (t) \rang\right]\\ & =e^{i H_{0,\,S}\,t / \hbar}\left[ - H_{0,\,S}| \psi_{S}(t) \rang +H_S | \psi_{s} (t) \rang\right] \\ & =e^{i H_{0,\,S}\,t / \hbar} H_{1,\,S}| \psi_{S}(t) \rang \\ \end{align}$ 。

再將方程式 (1) 代入，

$i \hbar \frac{d}{dt} | \psi_{I} (t) \rang= e^{i H_{0,\,S}\,t / \hbar}H_{1,\,S}\,e^{ - i H_{0,\,S}\,t / \hbar}| \psi_{I}(t) \rang \,\!$ 。

將方程式 (2) 代入，

$i \hbar \frac{d}{dt} | \psi_{I}(t)\rang =H_{1,\,I}| \psi_{I}(t)\rang \,\!$ 。

這方程式稱為施溫格-朝永振一郎方程式。

算符的時間演化 [编辑]

假若算符 $A_{S}\,\!$ 顯性地不含時間，則其對應的 $A_I(t)\,\!$ 的時間演化為

$\begin{align} i\hbar\frac{d}{dt}A_I(t) & =i\hbar\frac{d}{dt}( e^{i H_{0,\,S}\,t / \hbar} A_{S}\,e^{ - i H_{0,\,S}\,t / \hbar}) \\ & = - H_{0,\,S}\,e^{i H_{0,\,S}\,t / \hbar} A_{S}\,e^{ - i H_{0,\,S}\,t / \hbar} + e^{i H_{0,\,S}\,t / \hbar} A_{S}\,e^{ - i H_{0,\,S}\,t / \hbar} H_{0,\,S} \\ & =A_I(t)H_{0,\,S} - H_{0,\,S}A_I(t) \\ & =\left[A_I(t),\,H_0\right] \\ \end{align}\,\!$ 。

這與在海森堡繪景裏，算符 $A_H(t)\,\!$ （下標 $H\,\!$ 標記海森堡繪景）的時間演化類似：

$i\hbar\frac{d}{dt}A_H(t)=\left[A_H(t),\,H\right]\,\!$ 。

密度矩陣的時間演化 [编辑]

變換施溫格-朝永振一郎方程式為密度矩陣的語言，則會給出

$i\hbar \frac{d}{dt} \rho_I(t) = \left[ H_{1,\,I}(t), \rho_I(t)\right]\,\!$ 。