相关

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概率论统计学中,相关(Correlation,或称相关系数关联系数),显示两个随机变量之间线性关系的强度和方向。在统计学中,相关的意义是用来衡量两个变量相对于其相互独立的距离。在这个广义的定义下,有许多根据数据特点而定义的用来衡量数据相关的系数。

各種相關係數[编辑]

对于不同測量尺度的變數,有不同的相關系数可用:

  • Pearson相关系数(Pearson's r):衡量兩個等距尺度等比尺度變數之相關性。是最常見的,也是學習統計學時第一個接觸的相關係數。
  • 淨相關(英语partial correlation):在模型中有多個自變數(或解釋變數)時,去除掉其他自變數的影響,只衡量特定一個自變數與因變數之間的相關性。自變數和因變數皆為連續變數
  • 相關比(英语correlation ratio):衡量兩個連續變數之相關性。




  • 點二系列相關係數(英语point-biserial correlation):X變數是真正名目尺度二分變數。Y變數是連續變數
  • 二系列相關係數(英语biserial correlation):X變數是人為名目尺度二分變數。Y變數是連續變數

皮尔逊积差系数(Pearson's product moment coefficient)[编辑]

数学特征[编辑]

\rho_{X,Y}={\mathrm{cov}(X,Y) \over \sigma_X \sigma_Y} ={E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)) \over \sigma_X\sigma_Y},

其中,E数学期望,cov表示协方差\sigma_X\sigma_Y標準差

因为\mu_X = E(X)\sigma_X^2 = E(X^2) - E^2(X),同样地,对于Y,可以写成

\rho_{X,Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E(X^2)-E^2(X)}~\sqrt{E(Y^2)-E^2(Y)}}.

当两个变量的標準差都不为零,相关系数才有定义。从柯西-施瓦茨不等式可知,相关系数的絕對值不超过1。当两个变量的线性关系增强时,相关系数趋于1或-1。当一个变量增加而另一变量也增加时,相关系数大于0。当一个变量的增加而另一变量减少时,相关系数小于0。当两个变量独立时,相关系数为0.但反之并不成立。 这是因为相关系数仅仅反映了两个变量之间是否线性相关。比如说,X是区间[-1,1]上的一个均匀分布的随机变量。Y = X2. 那么Y是完全由X确定。因此YX是不独立的。但是相关系数为0。或者说他们是不相关的。当YX服从联合正态分布时,其相互独立和不相关是等价的。

当一个或两个变量带有测量误差时,他们的相关性就受到削弱,这时,“反衰减”性(disattenuation)是一个更准确的系数。

几何特征[编辑]

对于居中的数据来说(何谓居中?也就是每个数据减去样本均值,居中后它们的平均值就为0),相关系数可以看作是两个随机变量中得到的样本集向量之间夹角的cosine函数。 一些实际工作者更喜欢用非居中的相关系数(与Pearson系数不相兼容)。看下面的例子中有一个比较。 例如,假设五个国家的国民生产总值分别是1、2、3、5、8(单位10亿美元),又假设这五个国家的贫困比例分别是11%、12%、13%、15%、18%。则我们现在有两个有序的包含5个元素的向量x、y:x = (1, 2, 3, 5, 8) 、 y = (0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18) 使用一般的方法来计算向量间夹角(参考数量积),未居中的相关性系数如下:

 \cos \theta = \frac { \bold{x} \cdot \bold{y} } { \left\| \bold{x} \right\| \left\| \bold{y} \right\| } = \frac { 2.93 } { \sqrt { 103 } \sqrt { 0.0983 } } = 0.920814711.

上面的数据实际上是故意选择了一个完美的线性关系:y = 0.10 + 0.01 x。因此皮尔逊相关系数应该就是1。把数据居中(x中数据减去 E(x) = 3.8 ,y中数据减去E(y) = 0.138)后得到:x = (−2.8, −1.8, −0.8, 1.2, 4.2)、 y = (−0.028, −0.018, −0.008, 0.012, 0.042),由此得到了预期结果:

 \cos \theta = \frac { \bold{x} \cdot \bold{y} } { \left\| \bold{x} \right\| \left\| \bold{y} \right\| } = \frac { 0.308 } { \sqrt { 30.8 } \sqrt { 0.00308 } } = 1 = \rho_{xy},

统计学上的相关[编辑]

相关系数的计算过程可表示为:将每个变量都转化为标准单位,乘积的平均数即为相关系数[1]

两个变量的关系可以直观地用散点图表示,当其紧密地群聚于一条直线的周围时,变量间存在强相关[2]

一个散点图可以用五个统计量来概括。 所有x值得平均数,所有x值的SD, 所有y值得平均数,所有y值的SD, 相关系数r.

将第一个变量记为 x , 第二个变量记为 y , 相关系数为 r ,则可以通过以下公式:

r = [(以标准单位表示的 x ) X (以标准单位表示的 y )] 的平均数

參考文獻[编辑]

  1. ^ David Freedman; Robert Pisani, Roger Purves. Statistics. Norton & Company. 1998: 148. ISBN 9780393960433. 3 (English). 
  2. ^ David Freedman; Robert Pisani, Roger Purves. Statistics. Norton & Company. 1998: 156. ISBN 9780393960433. 3 (English). 

参见[编辑]