相對化拓撲

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拓撲學數學的其他相關領域裡,拓撲空間 X 子空間是指在 X 子集 S 及在 S 上賦予的由 X 的拓撲所誘導的拓撲.這個誘導出來的拓撲叫做 X 的拓撲在 S 上的相對化拓撲,也叫子空間拓撲、“自然拓撲”.誘導方式參見#定義

定義[编辑]

給定一拓撲空間 (X,τ) 和一 X 內的子集 S ,於 S 上的子空間拓撲被定義爲

\tau_S = \lbrace S \cap U \mid U \in \tau \rbrace.

亦即, S 的子集於子空間拓撲中為開集若且唯若其爲 S 和一於 (X,τ) 內的開集交集。若 S 被設上子空間拓撲,則其本身即為一拓撲空間,並被稱之爲 (X,τ) 子空間。除非有額外敘述,一般拓撲空間的子集都會假定設有一子空間拓撲。

 S  (X,τ) 內的開集閉集稠密集,則分別稱 (SS)  (X,τ) 內的一開子空間閉子空間稠密子空間

另外,也可以定義 X 內的子集 S 的子空間拓撲為會使得內含映射

\iota: S \hookrightarrow X

連續最弱拓撲

更一般地,設 i 爲一由集合 S 至拓撲空間 X 單射,則於 S 上的子空間拓撲即為定義爲 i 爲連續的最弱拓撲。此拓撲的開集恰好會是i-1(U) 的其中一個,其中的 U  X 內的開集。 S 因此同胚於在 X 內的值域(也是帶子空間拓撲),且 i 會被稱之為拓撲嵌入

例子[编辑]

  • 給定一具一般拓撲的實數,其自然數(實數的一子空間)的子空間拓撲會是一個離散拓撲
  • 有理數 Q 做為一個 R 的子空間,不帶有離散拓撲(點 0 在 Q 內不是開集)。
  • S = [0,1) 為實線 R 的一子空間,則 [0,½) 在 S 內為開集,但在 R 內則不是。相似地,[½, 1) 在 S 內為閉集,但在 R 內則不是。 S 為其自身的開子集和閉子集,但做為 R 的子集則兩者皆不是。

參考文獻[编辑]

另見[编辑]