相對論性多普勒效應

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一个光源向右移动,速度为0.7c。频率在右面较高,在左面较低。

相對論性多普勒效應描述了等高傳播速度的波動因為波源與觀察者的相對運動關係(一如尋常版的多普勒效應)而有的頻率(以及波長)上的變化,而在這裡又多考慮了狹義相對論帶來的效應。

相對論性多普勒效應和非相對論性版本的多普勒效應有許多不同之處,例如其方程式列入了狹義相對論中的時間展長效應。這些方程式描述了所觀察到的完全頻率差值,並具有相對論要求的洛侖茲對稱性

機制(一個簡單例子)[编辑]

假設觀察者與波源是以一相對速度v\,彼此遠離。我們從波源的參考系來考慮這個問題。

設定有一波前抵達觀察者處。下一個波前則距離他有\lambda=c/f_e\,(其中\lambda\,波長f_e\,是波源所發出的波動頻率,而c\,光速)。既然波前移動速度為c\,而觀察者遠離速度為v\,,則在下面時間,波與觀察者會相遇:

t = \frac{\lambda}{c-v} = \frac{1}{(1-v/c)f_e}

然而由於相對論中的時間展長,觀察者測量到的時間會是

t_o = \frac{t}{\gamma} = \frac{1}{\gamma(1-v/c)f_e}

其中\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2},所以相應的頻率是

f_o = \frac{1}{t_o} = \gamma (1-v/c) f_e = \sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}\,f_e

通式[编辑]

當運動沿著波動傳遞路線[编辑]

若觀察者與波源正以速度v\,彼此遠離,則觀察到的頻率f_o\,會與波源發出的頻率f_e\,相異,關係式可寫作:

f_o = \sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}\,f_e

其中c\,真空中光速

相應的波長關係式則可寫作:

\lambda_o = \sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}\,\lambda_e

所導致的紅移z\,可寫作

z + 1 = \frac{\lambda_o}{\lambda_e} = \sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}

在非相對論極限下,亦即當v \ll c\,,近似式可寫作:

\frac{\Delta f}{f} \simeq -\frac{v}{c} \qquad \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \simeq \frac{v}{c} \qquad z \simeq \frac{v}{c}

註: 此段落所假設的是觀察者和波源互相「遠離」。若他們是互相「接近」,則v\,需設為負值。

當運動沿著任意方向[编辑]

若從觀察者參考系來看,波源以速度v\,以及相對於從觀察者到波源方向呈一個角度\theta\,(時間點在光發射出的時候)遠離,則頻率變化為

f_o = \frac{f_s}{\gamma\left(1+\frac{v\cos\theta}{c}\right)}

其中\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

然而,若角度\theta\,是在波源參考系量測到的(時間點在觀察者收到光的時候),則表示式為

f_o = \gamma\left(1-\frac{v\cos\theta}{c}\right)f_s

在非相對論極限下:

\frac{\Delta f}{f} \simeq -\frac{v\cos\theta}{c}

相關條目[编辑]

外部連結[编辑]