相继式

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证明论中,相继式是对在规定演绎演算的时候经常用到的可证明性的形式陈述。

解释[编辑]

相继式有如下形式

\Gamma\vdash\Sigma

这里的Γ和Σ二者是逻辑公式的序列(就是说公式的数目和出现次序都是重要的)。符号\vdash通常被称为十字转门(turnstile)或T型符号(tee),并经常被读做"产生"或"证明"。它不是语言中的符号,而用来讨论证明的元语言中的符号。在相继式中,Γ叫做相继式的前件(antecedent)而Σ叫做相继式的后继(succedent)。

直觉意义[编辑]

上面给出的那种相继式的直觉意义是在假定了Γ推出Σ是可证明的之下的。在经典的情形下,在十字转门左面的公式按合取解释,而右面的公式按析取解释。这意味着当在Γ中的所有公式成立的时候,在Σ中至少有一个公式必定是真的。如果后继为空,则按虚假解释,就是说\Gamma\vdash意味着Γ证明了虚假,并且因此是矛盾的。在另一方面,空前件被假定为真,就是说\vdash\Sigma意味着Σ没有任何假定就成立,也就是说,它总是真(作为一个析取式),而且因此是一个断言

但是上述解释只用于教学目的。因为在证明论中的形式证明是纯粹的语法上的,相继式的语义只由提供实际的推理规则的演算的性质给出。

剥离在上面的技术性精确定义中的任何矛盾,我们可以按它们的介绍性的逻辑形式来描述相继式。\Gamma表示我们开始逻辑处理时做的假定的集合,例如"苏格拉底是人"和"所有人都是必死的"。\Sigma表示从这些前提得到的逻辑结论。例如,我们希望在十字转门的\Sigma端见到"苏格拉底是必死的"。在这个意义上,\vdash意味着推理过程,或者英语中的"所以"。

我们对这些符号指派的意思是有所助益的。规则自身按机械性本质来运做而不承载潜在的意义。这个主题的详情请参见哥德尔不完备定理

例子[编辑]

一个典型的相继式:

 \phi,\psi\vdash\alpha,\beta

它声称要么\alpha要么\beta可以推导自\phi\psi

性质[编辑]

因为在(左边的)的前件中的所有公式都必须为真来获得在(右边的)后继中至少一个公式为真,向任何一端增加公式都导致一个更弱的相继式,而从任何一端去除公式都得到更强的相继式。

规则[编辑]

多数证明系统都提供从一个相继式到另一个相继式的演绎方式。这些规则都写成在横线上下的相继式列表。这些规则指示如果在横线上的所有相继式都为真,则在横线之下的也都为真。

一个典型的规则是:

 \frac{\Gamma\vdash\Sigma}{\begin{matrix} \Gamma,\alpha\vdash\Sigma & \alpha,\Gamma\vdash\Sigma \end{matrix}}

这指示了如果我们可以演绎\Sigma\Gamma,则我们也可以演绎它自\Gamma\alpha一起。

注意我们通常使用大写的希腊字母来指称(可能为空)公式的列表。[\Gamma,\Sigma]被用来指示\Gamma\Sigma的紧缩,就是说,这些出现在要么\Gamma要么\Sigma中但不重复的那些公式的列表。

变体[编辑]

这里介绍的相继式的一般概念能以各种方式特殊化。一个相继式被称为是直觉相继式,如果在后继中有最多一个公式。这种形式是获得直觉逻辑的演算是需要的。类似的,你可以通过要求相继式在前件中只有一个公式来获得双直觉逻辑(某种次协调逻辑)的演算。

在很多情况下,相继式还假定由多重集集合组成。所以你可以漠视公式的次序甚至数目。对于经典命题逻辑这不导致问题,因为你能从一组前提中得出的结论不依赖于这些数据。但是在亚结构逻辑中这就变得很重要了。

一些系统只允许在右边有一个公式。

历史[编辑]

历史上,相继式是Gerhard Gentzen介入用来规定他著名的相继式演算。在他的德语出版物中他使用了单词"Sequenz"。但是,在英语中,单词"序列"已经用来翻译德语的"Folge"并在数学中经常出现。术语"相继式"被建立用做这个德语表达的替代翻译。

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