真值语义

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逻辑的语义中,真值语义是对 Tarski主义语义的一种替代选择。它主要由 Ruth Barcan Marcus、H. Leblanc、M. Dunn 和 N. Belnap 所拥戴。它也叫做(量词的)代换释义或代换量化。

Beth 的一个定理声称,在模型中一个域内所有成员除了那些被指派给常量的都可以被折消,假定了全称量词(存在量词)可以被读做公式的合取(析取),其中常量替代在量词作用域内的变量的想法。比如,∀xPx 可以读做 (Pa & Pb & Pc &...) 这里的 a,b,c 是个体常量替代了在 Px 中的所有 x 的出现。

在真值语义和谓词逻辑标准语义之间的主要区别是真值语义没有。只有原子公式和量化公式的真值子句不同于真值语义。在真值语义中原子公式如 Pb 或 Rca 为真,当且仅当 b (的指称物)是谓词 P 的外延的成员,和当且仅当有序对 (c,a) 是 R 的外延的成员;在真值语义中原子公式的真值是基本的。全称(存在)公式为真,当且仅当它的所有(某些)代换实例为真。比较于标准语义,它声称全称(存在)公式为真,当且仅当对于这个域的所有(某些)成员,这个公式对于其中全部(某些)成立;比如,∀xA 为真(在一个释义下),当且仅当对于域 D 的所有的 k,A(k/x) 为真(这里的 A(k/x) 是用 k 代换 A 中 x 的所有出现的结果)。(这里我们假定常量是以自身命名的--就是说它们也是这个域的成员)。

真值语义不是没有问题。首先,强完备性定理紧致性定理失效。要看到这些问题请考虑集合 {F(1), F(2),...}。明显的公式 ∀xF(x) 是这个集合的推论,但它不是其任何有限子集的推论(所以从它是不可演绎的)。立即就可以得出紧致性定理和强完备性定理二者对于真值语义失效。这由 Dunn 和 Belnap 在 1968 年给出的逻辑推论的修改定义所矫正。

另一个问题出现在自由逻辑中。考虑带有无指称的一个个体常量 c 和表示不存在的一个谓词 F 的一个语言。那么 ∃xFx 为假,即使它的一个代换实例(实际上在这个释义下所有这种实例)为真。要解决这个问题我们简单的增加一个限制条款,存在量化陈述在一个释义下为真,至少一个代换实例在其中这个常量指称存在的某个东西。

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