真空电容率

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真空电容率，又称为真空介电系数，或電常數，是一个常见於电磁学的物理常数，符号为 \epsilon_0\,\! 。在国际单位制裏，真空电容率的數值为[1]：

\epsilon_0 \approx 8.854\ 187\ 817\dots\ \times 10^{-12}\,\! 法拉／公尺。

真空電容率 \epsilon_0\,\! 可以用公式定義為

\epsilon_0\ \stackrel{def}{=}\ \frac {1}{\mu_0 {c_0}^2}\,\! ；

其中，c_0\,\! 是光波傳播於真空的光速[2]，\mu_0\,\! 是真空磁導率。

採用國際單位制，光速的數值定義為[3] 299\ 792\ 458\,\! 公尺／秒，真空磁導率的數值定義為[4] 4\pi\times 10^{ - 7}\,\! 亨利／公尺。因此，\epsilon_0\,\! 的數值也是個定義值。但是，由於 \pi\,\! 是個無理數；所以，\epsilon_0\,\! 只能近似為[1]

\epsilon_0 \approx 8.854\ 187\ 817\ldots \times 10^{-12}\,\! 安培2 秒4 公斤-1 公尺-3（或者法拉／公尺）。

這些數值都可以在 2006 CODATA 報告裏找到[5]。

真空電容率出現於電位移 \mathbf{D}\,\! 的定義式：

\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}\,\! ；

其中，\mathbf{E}\,\! 是電場，\mathbf{P}\,\! 是電介質的經典電極化強度。

學術界常遇到一個錯誤的觀點，就是認為真空電容率 \epsilon_0\,\! 是一個可實現真空的一個物理性質。正確的觀點應該為，\epsilon_0\,\! 是一個度量系統常數，是由國際公約發表和定義而產生的結果。\epsilon_0\,\! 的定義值是由光波在參考系統的光速或基準 (benchmark) 光速的衍生而得到的數值。這參考系統稱為自由空間，被用為在其它各種介質的測量結果的比較基線。可實現真空，像外太空、超高真空 (ultra high vacuum) 、量子色動真空 (QCD vacuum) 、量子真空 (quantum vacuum) 等等，它們的物理性質都只是實驗和理論問題，應與 \epsilon_0\,\! 分題而論。\epsilon_0\,\! 的含義和數值是一個度量衡學 (metrology) 問題，而不是關於可實現真空的問題。為了避免產生混淆，許多標準組織現在都傾向於採用電常數為 \epsilon_0\,\! 的名稱。

目录

歷史背景 [编辑]

如同前面所述，真空電容率 \epsilon_0\,\! 是一個度量系統常數。它的出現於電磁量的定義方程式，主要是因為一個稱為理想化的程序。只使用純理論的推導，馬克士威方程組奇異地預測出，電磁波以光速傳播於自由空間。繼續推論這個預測，就可以給出 \epsilon_0\,\! 的數值。若想了解為什麼 \epsilon_0\,\! 會有這數值，必須稍微閱讀一下電磁度量系統的發展史。

在以下的講述中，請注意到我們經典物理並不特別區分「真空」和「自由空間」這兩個術語。當今文獻裏，「真空」可能指為很多種不同的實驗狀況和理論實體。在閱讀文獻時，只有上下文可以決定術語的含意。

單位理想化 [编辑]

查爾斯·庫侖和其它物理學家的實驗，證明庫侖定律：分開距離為 r\,\! ，電量都是 Q\,\! 的兩個點電荷，其相互作用於對方的力 F\,\! ，可以用方程式表達為

F=\frac{ k_{\mathrm{e}} Q^2}{r^2}\,\! ；

其中，k_{\mathrm{e}}\,\! 是個常數。

假若，對其它變量不加以任何約束，則 k_{\mathrm{e}}\,\! 可以任意地設定。對於每一個不同的 k_{\mathrm{e}}\,\! 數值設定，Q\,\! 的詮釋也相隨地不同。為了要避免混淆不清，每一個不同的詮釋必須有不同的名稱和標記符號[6]。

厘米-克-秒靜電制是一個十九世紀後期建立的標準系統。在這標準系統裏，常數 k_{\mathrm{e}}\,\! 的數值被設定為 1 ，電荷量的因次被稱為高斯電荷量。這樣，作用力的方程式變為

F = \frac{{q_s}^2}{r^2}\,\! ；

其中，q_s\,\! 是高斯電荷量。

假設兩個點電荷的電荷量都是一個單位高斯電荷量，分隔距離是 1 公分。則兩個點電荷相互作用於對方的力是 1 達因。那麼，高斯電荷量的因次也可以寫為「達因1/2 公分」。 這與國際單位制的因次，「牛頓1/2 公尺」，有同樣的因次。但是，高斯電荷量與國際單位制電荷量的因次並不相同。高斯電荷量不是用庫侖來測量的。

後來，科學家覺得，對於球幾何案例，應該加入因子 4 \pi\,\! 於庫侖定律，表達方程式為

F = \; k'_{\mathrm{e}} {q'_s}^2/4 \pi r^2\,\! ；

其中，k'_{\mathrm{e}}\,\! 、q'_s\,\! 分別為新的常數和電荷量。

這個點子稱為理想化。設定 k'_{\mathrm{e}}=1\,\! 。電量單位也改變了，但是，電量的因次仍舊是「達因1/2 公分」。

下一個步驟是將電量表達為一個獨自的基本物理量，標記為 q\,\! ，將庫侖定律寫為它的現代形式：

F = q^2/4 \pi \epsilon_0 r^2\,\! 。

很明顯地，舊厘米-克-秒靜電制裏的電量 q_s\,\! 與新的國際標準制電量 q\,\! 的關係式為

q_s=q/\sqrt{4\pi\epsilon_0}\,\! 。

ε0 數值的設定 [编辑]

採用國際標準制，要求力量的單位為牛頓，距離的單位為公尺，電荷量的單位為工程師的實用單位，庫侖，定義為 1 安培的電流在 1 秒鐘內所累積的電荷量。那麼，真空電容率的因次應該是 「庫侖2 牛頓-1 公尺-2」 （或者，「法拉1 公尺-1」 ）。

真空電容率的數值可以從馬克士威方程組求得。觀察在真空中的馬克士威方程組的微分形式：

\nabla\cdot\mathbf{E}=0\,\! 、
\nabla\times\mathbf{E}= - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\,\! 、
\nabla\cdot\mathbf{B}=0\,\! 、
\nabla\times\mathbf{B}=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\,\! ;

其中，\mathbf{E}\,\! 是電場，\mathbf{B}\,\! 是磁感應強度。

取第四個馬克士威方程式的旋度，

\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial(\nabla\times\mathbf{E})}{\partial t}\,\! 。

將第二個馬克士威方程式（法拉第方程式）代入，則可得到

\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})= - \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}\,\! 。

應用一個向量恆等式，

\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{B}) - \nabla^2\mathbf{B}\,\! 。

再注意到第三個馬克士威方程式（高斯磁定律），所以，

\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})= - \nabla^2\mathbf{B}\,\! 。

這樣，就可以得到光波的磁场波動方程式：

\nabla^2\mathbf{B}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0\,\! 。
\nabla^2\mathbf{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0

這光波傳播的速度（光速 c_0\,\! ）是

c_0=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\,\! 。

這方程式表達出光速、真空電容率、真空磁導率，這三個物理量的相互關係。原則上，科學家可以選擇以庫侖，或是以安培為基本電磁單位[7]。經過仔細的考量，國際單位組織決定以安培為基本電磁單位。因此，\mu_0\,\! 、c_0\,\! 的數值設定了 \epsilon_0\,\! 的數值。若想知道如何決定 \mu_0\,\! 的數值，請參閱條目真空磁導率。

可實現真空和自由空間 [编辑]

自由空間 (free space) 是一個理想的參考狀態，可以趨近，但是在物理上是永遠無法達到的狀態。可實現真空有時候被稱為部分真空 (partial vacuum) ，意指需要超低氣壓，但超低氣壓並不是近似自由空間的唯一條件[8]。

與經典物理內的真空不同，現今時代的物理真空意指的是真空態 (vacuum state) ，或量子真空。這種真空絶對不是簡單的空無一物的空間[9][10]。因此，自由空間不再是物理真空的同義詞。若想要知道更多細節，請參閱條目自由空間和真空態 。

對於為了測量國際單位的數值，而在實驗室製成的任何部分真空，一個很重要的問題是，部分真空是否可以被滿意地視為自由空間的實現？還有，我們必須怎樣修正實驗的結果，才能使這些結果適用於基線？例如，為了彌補氣壓高於零而造成的誤差，科學家可以做一些修正[11]。

若想知道怎樣才能製成優良的部分真空，請參閱條目超高真空 (ultra high vacuum) 和自由空間。

請注意，這些缺陷並不會影響真空電容率 \epsilon_0\,\! 的意義或數值。\epsilon_0\,\! 是個定義值，是由國際標準組織，通過光速和真空磁導率的定義值而衍生的。

參閱 [编辑]

參考文獻 [编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 CODATA. Electric constant. 2006 CODATA recommended values. NIST. [2007-08-08]. 
  2. ^ 引述自 NIST （國家標準與技術學院）：現行的慣例是按照 ISO 31 的建議，用 c_0\,\! 來標記在真空的光速。原本的 1983 年建議書主張採用 c\,\! 來做此用途。
  3. ^ NIST 對於公尺的定義 (html). NIST. 
  4. ^ NIST 對於安培的定義 (html). NIST. 
  5. ^ CODATA 報告 (pdf). NIST. 
  6. ^ Cardarelli, François. Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2nd. Springer. 2004. ISBN 9781852336820. 
  7. ^ John David Jackson. Classical electrodynamics Third. New York: Wiley. 1999. Appendix on units and dimensions; pp. 775 et seq.。. ISBN 047130932X.  怎樣選擇獨立單位的敘述
  8. ^ 物理術語部分真空指出，近似真空和自由空間的一個主要分歧源點，是來自於無法達到 0 氣壓。但是，還有其它非理想性的可能源點。參閱，例如，Di Piazza, Antonino; K. Hatsagortsyan & C. Keitel, Light diffraction by a strong standing electromagnetic wave, Phys.Rev.Lett.. 2006, 97: 083603 Gies, Holger; J. Jaeckel & A. Ringwald, Polarized light propagating in a magnetic field as a probe for millicharged fermions, Phys. Rev. Letts.. 2006, 97: 140402 。
  9. ^ Astrid Lambrecht (Hartmut Figger, Dieter Meschede, Claus Zimmermann Eds.). Observing mechanical dissipation in the quantum vacuum: an experimental challenge; 在物理書 Laser physics at the limits. Berlin/New York: Springer. 2002. 197. ISBN 3540424180. 
  10. ^ Walter Dittrich & Gies H. Probing the quantum vacuum: perturbative effective action approach. Berlin: Springer. 2000. ISBN 3540674284. 
  11. ^ 對於這類修正， CIPM RECOMMENDATION 1 (CI-2002) p. 195 的建議是：
    ♦ …在每一個案例裏，為了要處理真實發生的事件，像繞射、地心引力，或不完美的真空等等，任何必要的修正都必須仔細執行。
    除此以外，
    ♦ …科學家認為公尺是單位固有長度 (proper length) 。公尺的定義，只適用於一個足夠小的區域內，這樣，可以忽略重力場的不均勻性。
    CIPM 是國際重量和度量會議 (International Committee for Weights and Measures) 的首字母縮略字。
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