真空电容率

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真空电容率,又称为真空介电系数,或電常數,是一个常见於电磁学物理常数,符号为 \epsilon_0\,\! 。在国际单位制裏,真空电容率的數值为[1]

\epsilon_0 \approx 8.854\ 187\ 817\dots\ \times 10^{-12}\,\! 法拉公尺

真空電容率 \epsilon_0\,\! 可以用公式定義為

 \epsilon_0\ \stackrel{def}{=}\ \frac {1}{\mu_0 {c_0}^2}\,\!

其中,c_0\,\!光波傳播於真空光速[2]\mu_0\,\!真空磁導率

採用國際單位制,光速的數值定義為[3] 299\ 792\ 458\,\! 公尺/秒,真空磁導率的數值定義為[4] 4\pi\times 10^{ - 7}\,\! 亨利/公尺。因此,\epsilon_0\,\! 的數值也是個定義值。但是,由於 \pi\,\! 是個無理數;所以,\epsilon_0\,\! 只能近似為[1]

 \epsilon_0 \approx  8.854\ 187\ 817\ldots \times 10^{-12}\,\! 安培24 公斤-1 公尺-3(或者法拉/公尺)。

這些數值都可以在 2006 CODATA 報告裏找到[5]

真空電容率出現於電位移 \mathbf{D}\,\! 的定義式:

\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}\,\!

其中,\mathbf{E}\,\!電場\mathbf{P}\,\!電介質的經典電極化強度

學術界常遇到一個錯誤的觀點,就是認為真空電容率 \epsilon_0\,\! 是一個可實現真空的一個物理性質。正確的觀點應該為,\epsilon_0\,\! 是一個度量系統常數,是由國際公約發表和定義而產生的結果。\epsilon_0\,\! 的定義值是由光波在參考系統的光速或基準 (benchmark) 光速的衍生而得到的數值。這參考系統稱為自由空間,被用為在其它各種介質的測量結果的比較基線。可實現真空,像外太空超高真空 (ultra high vacuum) 、量子色動真空 (QCD vacuum) 、量子真空 (quantum vacuum) 等等,它們的物理性質都只是實驗和理論問題,應與 \epsilon_0\,\! 分題而論。\epsilon_0\,\! 的含義和數值是一個度量衡學 (metrology) 問題,而不是關於可實現真空的問題。為了避免產生混淆,許多標準組織現在都傾向於採用電常數\epsilon_0\,\! 的名稱。

歷史背景[编辑]

如同前面所述,真空電容率 \epsilon_0\,\! 是一個度量系統常數。它的出現於電磁量的定義方程式,主要是因為一個稱為理想化的程序。只使用純理論的推導,馬克士威方程組奇異地預測出,電磁波以光速傳播於自由空間。繼續推論這個預測,就可以給出 \epsilon_0\,\! 的數值。若想了解為什麼 \epsilon_0\,\! 會有這數值,必須稍微閱讀一下電磁度量系統的發展史。

在以下的講述中,請注意到我們經典物理並不特別區分「真空」和「自由空間」這兩個術語。當今文獻裏,「真空」可能指為很多種不同的實驗狀況和理論實體。在閱讀文獻時,只有上下文可以決定術語的含意。

單位理想化[编辑]

查爾斯·庫侖和其它物理學家的實驗,證明庫侖定律:分開距離為 r\,\!電量都是 Q\,\! 的兩個點電荷,其相互作用於對方的 F\,\! ,可以用方程式表達為

F=\frac{ k_{\mathrm{e}} Q^2}{r^2}\,\!

其中,k_{\mathrm{e}}\,\! 是個常數。

假若,對其它變量不加以任何約束,則 k_{\mathrm{e}}\,\! 可以任意地設定。對於每一個不同的 k_{\mathrm{e}}\,\! 數值設定,Q\,\! 的詮釋也相隨地不同。為了要避免混淆不清,每一個不同的詮釋必須有不同的名稱和標記符號[6]

厘米-克-秒靜電制是一個十九世紀後期建立的標準系統。在這標準系統裏,常數 k_{\mathrm{e}}\,\! 的數值被設定為 1 ,電荷量的因次被稱為高斯電荷量。這樣,作用力的方程式變為

 F = \frac{{q_s}^2}{r^2}\,\!

其中,q_s\,\! 是高斯電荷量。

假設兩個點電荷的電荷量都是一個單位高斯電荷量,分隔距離是 1 公分。則兩個點電荷相互作用於對方的力是 1 達因。那麼,高斯電荷量的因次也可以寫為「達因1/2 公分」。 這與國際單位制的因次,「牛頓1/2 公尺」,有同樣的因次。但是,高斯電荷量與國際單位制電荷量的因次並不相同。高斯電荷量不是用庫侖來測量的。

後來,科學家覺得,對於球幾何案例,應該加入因子 4 \pi\,\! 於庫侖定律,表達方程式為

 F = \; k'_{\mathrm{e}} {q'_s}^2/4 \pi r^2\,\!

其中,k'_{\mathrm{e}}\,\!q'_s\,\! 分別為新的常數和電荷量。

這個點子稱為理想化。設定 k'_{\mathrm{e}}=1\,\! 。電量單位也改變了,但是,電量的因次仍舊是「達因1/2 公分」。

下一個步驟是將電量表達為一個獨自的基本物理量,標記為 q\,\! ,將庫侖定律寫為它的現代形式:

 F = q^2/4 \pi \epsilon_0 r^2\,\!

很明顯地,舊厘米-克-秒靜電制裏的電量 q_s\,\! 與新的國際標準制電量 q\,\! 的關係式為

q_s=q/\sqrt{4\pi\epsilon_0}\,\!

ε0 數值的設定[编辑]

採用國際標準制,要求力量的單位為牛頓,距離的單位為公尺,電荷量的單位為工程師的實用單位,庫侖,定義為 1 安培電流在 1 秒鐘內所累積的電荷量。那麼,真空電容率的因次應該是 「庫侖2 牛頓-1 公尺-2」 (或者,「法拉1 公尺-1」 )。

真空電容率的數值可以從馬克士威方程組求得。觀察在真空中的馬克士威方程組的微分形式:

\nabla\cdot\mathbf{E}=0\,\!
\nabla\times\mathbf{E}= - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\,\!
\nabla\cdot\mathbf{B}=0\,\!
\nabla\times\mathbf{B}=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\,\! ;

其中,\mathbf{E}\,\!電場\mathbf{B}\,\!磁感應強度

取第四個馬克士威方程式的旋度

\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial(\nabla\times\mathbf{E})}{\partial t}\,\!

將第二個馬克士威方程式(法拉第方程式)代入,則可得到

\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})= - \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}\,\!

應用一個向量恆等式

\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{B}) - \nabla^2\mathbf{B}\,\!

再注意到第三個馬克士威方程式(高斯磁定律),所以,

\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B})= - \nabla^2\mathbf{B}\,\!

這樣,就可以得到光波的磁场波動方程式

\nabla^2\mathbf{B}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0\,\!
\nabla^2\mathbf{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0

這光波傳播的速度(光速 c_0\,\! )是

c_0=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\,\!

這方程式表達出光速、真空電容率、真空磁導率,這三個物理量的相互關係。原則上,科學家可以選擇以庫侖,或是以安培為基本電磁單位[7]。經過仔細的考量,國際單位組織決定以安培為基本電磁單位。因此,\mu_0\,\!c_0\,\! 的數值設定了 \epsilon_0\,\! 的數值。若想知道如何決定 \mu_0\,\! 的數值,請參閱條目真空磁導率

可實現真空和自由空間[编辑]

自由空間 (free space) 是一個理想的參考狀態,可以趨近,但是在物理上是永遠無法達到的狀態。可實現真空有時候被稱為部分真空 (partial vacuum) ,意指需要超低氣壓,但超低氣壓並不是近似自由空間的唯一條件[8]

與經典物理內的真空不同,現今時代的物理真空意指的是真空態 (vacuum state) ,或量子真空。這種真空絶對不是簡單的空無一物的空間[9][10]。因此,自由空間不再是物理真空的同義詞。若想要知道更多細節,請參閱條目自由空間真空態

對於為了測量國際單位的數值,而在實驗室製成的任何部分真空,一個很重要的問題是,部分真空是否可以被滿意地視為自由空間的實現?還有,我們必須怎樣修正實驗的結果,才能使這些結果適用於基線?例如,為了彌補氣壓高於零而造成的誤差,科學家可以做一些修正[11]

若想知道怎樣才能製成優良的部分真空,請參閱條目超高真空 (ultra high vacuum) 和自由空間

請注意,這些缺陷並不會影響真空電容率 \epsilon_0\,\! 的意義或數值。\epsilon_0\,\! 是個定義值,是由國際標準組織,通過光速和真空磁導率的定義值而衍生的。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 CODATA. Electric constant. 2006 CODATA recommended values. NIST. [2007-08-08]. 
  2. ^ 引述自 NIST (國家標準與技術學院):現行的慣例是按照 ISO 31 的建議,用 c_0\,\! 來標記在真空的光速。原本的 1983 年建議書主張採用 c\,\! 來做此用途。
  3. ^ NIST 對於公尺的定義 (html). NIST. 
  4. ^ NIST 對於安培的定義 (html). NIST. 
  5. ^ CODATA 報告 (pdf). NIST. 
  6. ^ Cardarelli, François. Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2nd. Springer. 2004. ISBN 9781852336820. 
  7. ^ John David Jackson. Classical electrodynamics Third. New York: Wiley. 1999: Appendix on units and dimensions; pp. 775 et seq.。. ISBN 047130932X.  怎樣選擇獨立單位的敘述
  8. ^ 物理術語部分真空指出,近似真空和自由空間的一個主要分歧源點,是來自於無法達到 0 氣壓。但是,還有其它非理想性的可能源點。參閱,例如,Di Piazza, Antonino; K. Hatsagortsyan & C. Keitel, Light diffraction by a strong standing electromagnetic wave, Phys.Rev.Lett.. 2006, 97: 083603 Gies, Holger; J. Jaeckel & A. Ringwald, Polarized light propagating in a magnetic field as a probe for millicharged fermions, Phys. Rev. Letts.. 2006, 97: 140402 
  9. ^ Astrid Lambrecht (Hartmut Figger, Dieter Meschede, Claus Zimmermann Eds.). Observing mechanical dissipation in the quantum vacuum: an experimental challenge; 在物理書 Laser physics at the limits. Berlin/New York: Springer. 2002: 197. ISBN 3540424180. 
  10. ^ Walter Dittrich & Gies H. Probing the quantum vacuum: perturbative effective action approach. Berlin: Springer. 2000. ISBN 3540674284. 
  11. ^ 對於這類修正, CIPM RECOMMENDATION 1 (CI-2002) p. 195 的建議是:
    ♦ …在每一個案例裏,為了要處理真實發生的事件,像繞射、地心引力,或不完美的真空等等,任何必要的修正都必須仔細執行。
    除此以外,
    ♦ …科學家認為公尺是單位固有長度 (proper length) 。公尺的定義,只適用於一個足夠小的區域內,這樣,可以忽略重力場的不均勻性。
    CIPM 是國際重量和度量會議 (International Committee for Weights and Measures) 的首字母縮略字。