矩形函数

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矩形函数

矩形函数的定义为,

\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}
0           & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1           & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}
\end{cases}

也可以将它定义为 \mathrm{rect}(\pm 1/2) 的值为 0、1 或者未定义的值,另外也可以用 单位阶跃函数 u(t) 来定义:

\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = u \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - u \left( t - \frac{\tau}{2} \right)

或者,

\mathrm{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot u \left( \frac{1}{2} - t \right)

矩形函数归一化:

\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\,dt=1

矩形函数的傅立叶变换

\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt
=\frac{\sin(\pi f)}{\pi f} = \mathrm{sinc}(f)

或用用归一化Sinc函数表示为:

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right),

我们可以将三角形函数定义为两个矩形函数的卷积:

\mathrm{tri}(t) = \mathrm{rect}(t) * \mathrm{rect}(t)

如果将矩形函数当作一个概率分布函数,那么它的特征函数是,

\varphi(k) = \frac{\sin(k/2)}{k/2}\,

并且它的动差生成函数为,

M(k)=\frac{\mathrm{sinh}(k/2)}{k/2}\,

其中 \mathrm{sinh}(t)双曲正弦函数。

参见[编辑]