矩阵多项式

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提示:本条目的主题不是多项式矩阵

矩阵多项式数学矩阵论里的概念,指由方块矩阵作为不定元的多项式,或由方块矩阵作为变量多项式函数

定义[编辑]

给定自然数n、系数\mathbf{R}以及n阶方块矩阵A,一个关于矩阵Ad次的矩阵多项式通常写作:

P(A) = \alpha_0 \mathbf{I}_n + \alpha_1 A +\alpha_2 A^2 + \cdots + \alpha_d A^d = \sum_{i=0}^d \alpha_i A^i

其中的\alpha_0, \alpha_1 , \cdots, \alpha_d都是系数环\mathbf{R}中的元素。这其实是可以看作将\mathbf{R}[\lambda]中的多项式:

P(\lambda) = \alpha_0 + \alpha_1 \lambda +\alpha_2 \lambda^2 + \cdots + \alpha_d \lambda^d = \sum_{i=0}^d \alpha_i \lambda^i

中的不定元\lambda换成了一个n阶方块矩阵A后得到的结果。P(A)A一样,也是一个n阶方块矩阵。

性质[编辑]

给定一个n阶方块矩阵A,如果一个非零多项式f \in \mathbf{R}[\lambda]满足:f(A) = 0,则称多项式f是矩阵A零化多项式。根据开莱-哈密尔顿定理特征多项式\Pi_A(\lambda)满足\Pi_A(A) = 0,所以\Pi_A是一个化零多项式。所有零化多项式中次数最低的称为A最小多项式,记作\pi_A。所有关于A的矩阵多项式Q都可以通过最小多项式化简为一个次数严格小于\pi_A的多项式。事实上,存在多项式Q, \; R \; \in \mathbf{R}[\lambda],使得:

P = Q\pi_A + R

并且其中R的次数严格小于\pi_A的次数。所以:

P(A) = Q(A) \pi_A(A) + R(A) = Q(A) \cdot 0 + R(A) = R(A).

参见[编辑]

参考来源[编辑]