矩陣加法

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數學裡,矩陣加法一般是指兩個矩陣把其相對應元素加在一起的運算。但有另一運算也可以認為是一種矩陣的加法

個別元素相加(減)[编辑]

通常的矩陣加法被定義在兩個相同大小的矩陣。兩個m×n矩陣AB的和,標記為A+B,一樣是個m×n矩陣,其內的各元素為其相對應元素相加後的值。例如:


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    1 & 0 \\
    1 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    7 & 5 \\
    2 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 \\
    1+7 & 0+5 \\
    1+2 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    8 & 5 \\
    3 & 3
  \end{bmatrix}

也可以做矩陣的減法,只要其大小相同的話。A-B內的各元素為其相對應元素相減後的值,且此矩陣會和AB有相同大小。例如:


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    1 & 0 \\    1 & 2
  \end{bmatrix}
-
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    7 & 5 \\
    2 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1-0 & 3-0 \\
    1-7 & 0-5 \\
    1-2 & 2-1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    -6 & -5 \\
    -1 & 1
  \end{bmatrix}

在MS Excel做矩陣加(減)法[编辑]

一般的矩陣加(減)法如下,至於下一節的「直和」請另找參考資料。

  1. 先輸入要相加的兩個矩陣,大小必須一致為m\times n,一般矩陣加法才有定義;
  2. 用滑鼠選取大小為m\times n的空白格矩陣;
  3. 輸入 =
  4. 用滑鼠選取矩陣1
  5. 輸入 + (若做減法則輸入 -)
  6. 用滑鼠選取矩陣2
  7. Ctrl+ Shift+ Enter這三個鍵的組合。

直和[编辑]

另較少用來的一種運算為直和。直和可以由任何一對矩陣形成,其定義為:


  A \oplus B =
  \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
     a_{11} & \cdots & a_{1n} &      0 & \cdots &      0 \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
    a_{m 1} & \cdots & a_{mn} &      0 & \cdots &      0 \\
          0 & \cdots &      0 & b_{11} & \cdots &  b_{1q} \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
          0 & \cdots &      0 & b_{p1} & \cdots &  b_{pq} 
  \end{bmatrix}

舉例來說:


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 3 & 1
  \end{bmatrix}
\oplus
  \begin{bmatrix}
    1 & 6 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
    2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}

注意到兩個方陣的直和可以表示兩個圖論的聯集之鄰接矩陣

在任兩個向量空間內取定基底,並取兩基底的聯集為向量空間直和的基底,則兩空間上的線性變換的直和可以表成兩矩陣的直和。

一般地,n個矩陣的直和可以寫成:


\bigoplus_{i=1}^{n} A_{i} = \mbox{diag}( A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n)= 
\begin{bmatrix}
      A_1  &  &  &   \\
      & A_2  &   &   \\
      &   & \ddots  &   \\
      &   &   & A_n
\end{bmatrix}.

另見[编辑]

外部連結[编辑]