矩 (數學)

矩，又稱動差，英文為moment。

数学中矩的概念来自于物理学。在物理学中，矩是用来表示物体形状的物理量。矩是用于物体形状识别的重要参数指标。定义在实数域上的实函数相对于值c的n阶矩为:

$\mu'_n=\int_{-\infty}^\infty (x - c)^n\,f(x)\,dx$。如果f(x)是概率密度函数，则容易看出1阶矩是连续随机变量的数学期望。

總的來說，在數學中，矩的概念是用來度量一組具有一定形態特點的點陣。舉個常用的例子，一個“二階矩”，我們在一維上可以測量它的“寬度”；而更在高階的維度上，由於其適用於橢球的空間分佈，我們還可以對點的云結構進行測量和描述。其他的矩用來描述諸如與均值的歪斜分佈情況（偏態），或峰值的分佈情況（峰態）等其他方面的分佈特點。

期望（Expectation）

隨機變量（或統計量，下同）的期望定義為其1階原點矩：

$Ex = \int_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,dx$

在方差等定義中，期望也稱為隨機變量的“中心”。顯然，任何隨機變量的1階中心矩為0。

方差（Variance）

隨機變量的方差定義為其2階中心矩：

$var (x) = \int_{-\infty}^\infty (x - Ex)^2 \,f(x)\,dx$

偏態（Skewness）

隨機變量的偏態定義為其3階中心矩：

$S (x) = \int_{-\infty}^\infty (x - Ex)^3 \,f(x)\,dx$

峰態（Kurtosis）

隨機變量的峰態定義為其4階中心矩：

$K (x) = \int_{-\infty}^\infty (x - Ex)^4 \,f(x)\,dx$

样本矩

矩常常通过样本矩

$\mu'_n \approx \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N} X^n_i$

来估计。这种方法不需要先估计其概率分布。

參見

• 矩 (物理学)

外部連結

• Mathworld Website