确定双线性形式

在数学中，确定双线性形式是双线性形式 B 使得

B(x, x)

在 x 不是 0 的时候有固定的符号(或正或负)。

要给出形式定义，设 K 是域 R(实数)或 C(复数)之一。假设 V 是在 K 上的向量空间，并且

B : V × V → K

是 Hermitian形式的双线性形式，在 B(x, y) 总是 B(y, x) 的复共轭的意义上。则 B 被称为正定的，如果

B(x, x) > 0

对于所有 V 中的非零 x。如果 B(x, x) ≥ 0 对于所有 x，B 被称为正半定。 负定和负半定双线性形式也类似的定义。如果 B(x, x) 取正和负值二者，它叫做不定的。

作为一个例子，设 V=R²，并考虑双线性形式

B(x,y) = c₁x₁y₁ + c₂x₂y₂

这里的 x = (x₁,x₂), y = (y₁,y₂), 而 c₁ 和 c₂ 是常数。如果 c₁ > 0 且 c₂ > 0，双线性形式 B 是正定的。如果这些常数中的一个是正数而其他的是零，则 B 是正半定的。如果 c₁ > 0 且 c₂ < 0，则 B 是不定的。

给定一个 Hermitian 双线性形式 B，函数

Q(x) = B(x,x)

是二次形式。B 的确定性定义同 Q. 的相应定义一样。

在内积空间上的自伴随算子 A 是正定的，如果

(x, Ax) > 0 对于所有非零向量 x。

参见

• 正定函数
• 正定矩阵