确定双线性形式

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数学中,确定双线性形式双线性形式 B 使得

B(x, x)

x 不是 0 的时候有固定的符号(或正或负)。

要给出形式定义,设 K R(实数)或 C(复数)之一。假设 V 是在 K 上的向量空间,并且

B : V × VK

Hermitian形式的双线性形式,在 B(xy) 总是 B(yx) 的复共轭的意义上。则 B 被称为正定的,如果

B(x, x) > 0

对于所有 V 中的非零 x。如果 B(x, x) ≥ 0 对于所有 xB 被称为正半定负定负半定双线性形式也类似的定义。如果 B(x, x) 取正和负值二者,它叫做不定的。

作为一个例子,设 V=R2,并考虑双线性形式

B(x, y)=c_1x_1y_1+c_2x_2y_2

这里的 x=(x_1, x_2), y=(y_1, y_2), 而 c_1c_2 是常数。如果 c_1>0c_2>0,双线性形式 B 是正定的。如果这些常数中的一个是正数而其他的是零,则 B 是正半定的。如果 c_1>0c_2<0,则 B 是不定的。

给定一个 Hermitian 双线性形式 B,函数

Q(x)=B(x, x)

二次形式B 的确定性定义同 Q. 的相应定义一样。

内积空间上的自伴随算子 A正定的,如果

(x, Ax) > 0 对于所有非零向量 x

参见[编辑]