确定双线性形式

在数学中，确定双线性形式是双线性形式 B 使得

B(x, x)

在 x 不是 0 的时候有固定的符号(或正或负)。

要给出形式定义，设 K 是域 R(实数)或 C(复数)之一。假设 V 是在 K 上的向量空间，并且

B : V × V → K

是 Hermitian形式的双线性形式，在 B(x, y) 总是 B(y, x) 的复共轭的意义上。则 B 被称为正定的，如果

B(x, x) > 0

对于所有 V 中的非零 x。如果 B(x, x) ≥ 0 对于所有 x，B 被称为正半定。负定和负半定双线性形式也类似的定义。如果 B(x, x) 取正和负值二者，它叫做不定的。

作为一个例子，设 V=R²，并考虑双线性形式

$B(x, y)=c_1x_1y_1+c_2x_2y_2$

这里的 $x=(x_1, x_2)$ , $y=(y_1, y_2)$ , 而 $c_1$ 和 $c_2$ 是常数。如果 $c_1>0$ 且 $c_2>0$ ，双线性形式 $B$ 是正定的。如果这些常数中的一个是正数而其他的是零，则 $B$ 是正半定的。如果 $c_1>0$ 且 $c_2<0$ ，则 $B$ 是不定的。