分形

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曼德勃羅集合是碎形中的一個很有名的例子。

曼德勃羅集合的局部放大圖

碎形一般是指「一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部份，且每一部份都（至少會大略）是整體縮小尺寸的形狀」^[1]，此一性質稱為自相似。碎形一詞是由曼德勃罗於1975年提出的，有「零碎」、「破裂」之意。

分形一般有以下特質：^[2]

• 在任意小的尺度上都能有精細的結構；
• 太不規則，以至難以傳統歐氏幾何的語言來描述；
• （至少是大略或任意地）自相似
• 豪斯多夫維會大於拓樸維（但在空間填充曲線如希爾伯特曲線中為例外）；
• 有著簡單的遞歸定義。

因為碎形在所有的大小尺度下都顯得相似，所以通常被認為是無限複雜的（以不嚴僅的用詞來說）。自然界裡一定程度類似碎形的事物有雲、山脈、閃電、海岸線和雪片等等。但是，並不是所有自相似的東西都是碎形，如實線雖然在形式上是自相似的，但卻不符合碎形的其他特質。

[编辑] 歷史

謝爾賓斯基三角形的動畫表示，只顯示出無限遞迴的最初九次。

要做出一個科赫雪花，首先先畫出一個正三角形，然後再將每一邊中央三之分一長的線段以一對同長度的線段取代，使之成為一個等腰的「凸角」。接下來，再對上一步驟所形成的每一個邊做同樣的動作，無限遞迴下去。隨著每一次的迭代，此形狀的周長會增加出原長度的三分之一來。科赫雪花即是無限次迭代的結果，且會有無限長的長度，但其面積卻還是有限的。因此，科赫雪花和其他相似的構造有時會被稱為「怪獸曲線」。

17世紀時，數學家兼哲學家萊布尼茨思考過遞迴的自相似，碎形的數學從那時開始漸漸地成形（雖然他誤認只有直線會自相似）。

直到1872年，卡爾·魏爾施特拉斯給出一個處處連續但處處不可微的例子，在今日被認為是碎形的圖形才出現。1904年，科赫·范·卡區不滿意魏爾施特拉斯那抽象且解析的定義，給出一個相似函數但更幾何的定義，今日稱之為科赫雪花。1915年瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基造出了謝爾賓斯基三角形；隔年，又造出了謝爾賓斯基地毯。原本，這些幾何碎形都被認為是碎形，而不如現今所認為的二維形狀。1938年，保羅·皮埃爾·雷維在他的論文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole》中將自相似曲線的概念更進一步地推進，他在文中描述了一個新的碎形曲線－雷維C形曲線。

格奧爾格·康托爾也給出一個具有不尋常性質的實數子集－康托爾集，今日也被認為是碎形。

複數平面的迭代函數在19世紀末20世紀初被朱爾·亨利·龐加萊、菲利克斯·克萊因、皮埃爾·法圖和加斯東·茱莉亞等人所研究，但直到現在有電腦繪圖的幫忙，許多他們所發現的函數才顯現出其美麗來。

1960年代，伯努瓦·曼德勃羅開始研究自相似，且寫下一篇論文《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》。最後，1975年，曼德勃羅提出了「碎形」一詞，來標記一個物件，其豪斯多夫維會大於拓樸維。曼德勃羅以顯著的電腦架構圖像來描繪此一數學定義，這些圖像有著普遍的映象；許多都基於遞迴，以至「碎形」的一般意思。

[编辑] 造法

即使將曼德勃羅集合放大2000倍，還是會顯示出類似整個集合的精細結構。

四個製造碎形的一般技術如下：

• 逃逸時間碎形：由空間（如複數平面）中每一點的遞迴關係式所定義，例如曼德勃羅集合、茱莉亞集合、火燒船碎形、新碎形和李奧普諾夫碎形等。由一次或兩次逃逸時間公式的迭代生成的二維向量場也會產生碎形，若點在此一向量場中重複地被通過。
• 迭代函數系統：這些碎形都有著固定的幾何替代規則。康托爾集、謝爾賓斯基三角形、謝爾賓斯基地毯、空間填充曲線、科赫雪花、龍形曲線、丁字方形、孟傑海綿等都是此類碎形的一些例子。
• 隨機碎形：由隨機而無確定過程產生，如布朗運動的軌跡、雷維飛行、碎形風景和布朗樹等。後者會產生一種稱之為樹狀碎形的碎形，如擴散限制聚集或反應限制聚集束。
• 奇異吸引子：以一個映射的迭代或一套會顯出混沌的初值微分方程所產生。

[编辑] 分類

碎形也可以依據其自相似來分類，有如下三種：

• 精確自相似：這是最強的一種自相似，碎形在任一尺度下都顯得一樣。由迭代函數系統定義出的碎形通常會展現出精確自相似來。
• 半自相似：這是一種較鬆的自相似，碎形在不同尺度下會顯得大略（但非精確）相同。半自相似碎形包含有整個碎形扭曲及退化形式的縮小尺寸。由遞迴關係式定義出的碎形通常會是半自相似，但不會是精確自相似。
• 統計自相似：這是最弱的一種自相似，這種碎形在不同尺度下都能保有固定的數值或統計測度。大多數對「碎形」合理的定義自然會導致某一類型的統計自相似（碎形維數本身即是個在不同尺度下都保持固定的數值測度）。隨機碎形是統計自相似，但非精確及半自相似的碎形的一個例子。

[编辑] 應用

主条目：碎形分析

如上所述，隨機碎形可以用來描述許多高度不規則的現實世界的物件。其他碎形的應用亦包括^[3]：

• 醫學中組織切片的歸類
• 碎形風景或海岸線複雜性
• 酵素/酵素學（米曼氏動力學）
• 製做新音樂
• 製作許多的藝術形式
• Signal and image compression
• 地震學
• 土壤力學中的碎形
• 電腦及電視遊戲設計，尤其是有機背景的CG和部份的過程生成
• 斷口分析和斷裂力學
• 碎形天線－使用碎形形狀的小尺寸天線
• 小角度X光散射
• 新嬉皮T恤和其他的時尚服飾
• 偽裝圖樣的製作，如MARPAT
• 數位日晷
• 價格序列的技術分析（見艾略特波浪理論）

[编辑] 软件

• FerryMan Fractal
• Ultra Fractal
• Visions of Chaos
• Fraciant

[编辑] 参考文献

1. ^ Mandelbrot, B.B.（1982）．The Fractal Geometry of Nature．W.H. Freeman and Company.．ISBN 0-7167-1186-9． 
2. ^ Falconer, Kenneth（2003）．Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications．John Wiley & Sons, Ltd.，xxv．ISBN 0-470-84862-6． 
3. ^ Applications．於2007年10月21日查閱．

• [1] Mandelbrot,B.B.,1967,How long is the coast of Britain? Statistical selfsimilarity and fractional dimension,Science,155,636~638
• [2] Mandelbrot,B.B.,1977,Fractals,Form,Chance and Dimension,San Francisco,W.H.Freeman&Co.
• [3] Mandelbrot,B.B.,1982,The Fractal Geometry of Nature,San Francisco,Freeman.
• [4] 李水根，2004，分形，北京：高等教育出版社
• [5] 陈顒 陈凌，2005，分形几何学，北京:地震出版社

[编辑] 外部链接

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