科恩克萊斯分佈

科恩分佈（Cohen's class distribution）於1966年由L. Cohen首次提出，且其使用雙線性轉換亦是此種轉換形式中最通用的一種。在幾種常見的時頻分佈中，Cohen's class分佈是最強大的轉換之一。隨著近幾年來時頻分析發展，應用也越來越多元。Cohen's class分佈和短時距傅立葉變換比較起來有較高的清晰度，但也相對的有交叉項(cross-term)的問題，不過可選擇適當的遮罩函數(mask function)來將交叉項的問題降到最低。

數學定義

$C_x(t, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}A_x(\eta,\tau)\Phi(\eta,\tau)\exp (j2\pi(\eta t-\tau f))\, d\eta\, d\tau,$ ，

其中 $A_x\left(\eta,\tau \right)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau /2)x^*(t-\tau /2)e^{-j2\pi t\eta}\, dt.$ 為模糊函數(Ambiguity Function) ，且$\Phi \left(\eta,\tau \right)$為一遮罩函數，通常是低通函數用來濾除雜訊。

Cohen's class分佈系列函數

韋格納分布(Wigner Distribution Function)

File:WDF.jpg

韋格納分佈時頻分析圖

當Cohen's class分佈中的$\Phi \left(\eta,\tau \right)=1$時，Cohen's class分佈會成韋格納分布(Wigner distribution function)$W_x(t, f)= \int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau /2)x^*(t-\tau /2)e^{-j2\pi f\tau}\, d\tau$。

利用韋格納分佈對函數$x(t)=exp(j0.015t^4+j0.06t^3-j0.3t^2+jt)$作時頻分析的結果可見右圖。

錐狀分布(Cone-Shape Distribution)

File:400px-Choi williams.jpg

錐狀分佈時頻分析圖

當Cohen's class分佈中的$\phi(t,\tau)=\frac{1}{\left|\tau\right|}exp(-2\pi\alpha\tau^2)\Pi(\frac{t}{\tau})$，且$\Phi \left(\eta,\tau \right)=sinc(\eta\tau)exp((-2\pi\alpha\tau^2)$時，

其中$\phi(t,\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(\eta,\tau)exp(j2\pi\eta t)d\eta$，Cohen's class分佈會成錐狀分布。

右圖為不同的$\alpha$值下的錐狀分佈時頻分析圖。

喬伊-威廉斯(Choi-Williams)

File:400px-Cone shape 2.jpg

喬伊-威廉斯時頻分析圖

當Cohen's class分佈中的$\Phi \left(\eta,\tau \right)=exp[-\alpha(\eta\tau)^2]$時，Cohen's class分佈會成喬伊-威廉斯分布。

右圖為不同的$\alpha$值下的錐狀分佈時頻分析圖。

Cohen's class分佈優缺點

優點:

1.可選擇適當的遮罩函數來避免掉交叉項問題 。

2.具有高清晰度。

缺點

1. 需要較高的計算量與時間。

2. 缺乏良好的數學特性。

Cohen's class分佈的實現

$C_x(t, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}A_x(\eta,\tau)\Phi(\eta,\tau)\exp (j2\pi(\eta t-\tau f))\, d\eta\, d\tau,$

$=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi u\eta+j2\pi(\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta$

簡化方法一:不是所有的$A_x(\eta,\tau)$的值都要計算出

對$\ \left|\eta\right|>B\$或$\ \left|\tau\right|>C$，若$\Phi(\eta,\tau)=0$，則$C_x(t, f)=\int_{-C}^{C}\int_{-B}^{B}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi u\eta+j2\pi(\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta$

簡化方法二:注意，$\eta$這個參數和輸入及輸出都無關

$C_x(t, f)=\int_{-C}^{C}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})[\int_{-B}^{B}\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi,\eta(t-u)}d\eta]e^{-j2\pi\tau,f}dud\tau$

$=\int_{-C}^{C}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\Phi(\tau,t-u)e^{-j2\pi\tau,f}dud\tau$，其中

$\Phi(\tau,t-u)=\int_{-B}^{B}\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi,\eta(t-u)}d\eta$，由於$\Phi(\tau,t-u)$和輸入無關，可事先算出，因此可簡化成兩個積分式。

簡化方法三:使用摺積方法(convolution)

$C_x(t, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\phi(t-u,\tau)due^{-j2\pi f\tau}d\tau$，其中

$\phi(t,\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(\eta,\tau)exp(j2\pi\eta t)d\eta$。對$\left|t\right|>b$或是$\left|\tau\right|>c$，則

$C_x(t, f)=\int_{-c}^{c}\int_{t-b}^{t+b}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\phi(t-u,\tau)due^{-j2\pi f\tau}d\tau$，上式為一摺積式。

參考

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.