本页使用了标题或全文手工转换

科恩克萊斯分佈

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

科恩分佈(Cohen's class distribution)於1966年由L. Cohen首次提出,且其使用雙線性轉換亦是此種轉換形式中最通用的一種。在幾種常見的時頻分佈中,Cohen's class分佈是最強大的轉換之一。隨著近幾年來時頻分析發展,應用也越來越多元。Cohen's class分佈和短時距傅立葉變換比較起來有較高的清晰度,但也相對的有交叉項(cross-term)的問題,不過可選擇適當的遮罩函數(mask function)來將交叉項的問題降到最低。

數學定義[编辑]

C_x(t, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}A_x(\eta,\tau)\Phi(\eta,\tau)\exp (j2\pi(\eta t-\tau f))\, d\eta\, d\tau,
其中 A_x\left(\eta,\tau \right)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau /2)x^*(t-\tau /2)e^{-j2\pi t\eta}\, dt. 為模糊函數(Ambiguity Function) ,且\Phi \left(\eta,\tau \right)為一遮罩函數,通常是低通函數用來濾除雜訊。

Cohen's class分佈系列函數[编辑]

韋格納分布(Wigner Distribution Function)[编辑]

File:WDF.jpg
韋格納分佈時頻分析圖
當Cohen's class分佈中的\Phi \left(\eta,\tau \right)=1時,Cohen's class分佈會成韋格納分布(Wigner distribution function)W_x(t, f)= \int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau /2)x^*(t-\tau /2)e^{-j2\pi f\tau}\, d\tau
利用韋格納分佈對函數x(t)=exp(j0.015t^4+j0.06t^3-j0.3t^2+jt)作時頻分析的結果可見右圖。

錐狀分布(Cone-Shape Distribution)[编辑]

File:400px-Choi williams.jpg
錐狀分佈時頻分析圖
當Cohen's class分佈中的\phi(t,\tau)=\frac{1}{\left|\tau\right|}exp(-2\pi\alpha\tau^2)\Pi(\frac{t}{\tau}),且\Phi \left(\eta,\tau \right)=sinc(\eta\tau)exp((-2\pi\alpha\tau^2)時,
其中\phi(t,\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(\eta,\tau)exp(j2\pi\eta t)d\eta,Cohen's class分佈會成錐狀分布。
右圖為不同的\alpha值下的錐狀分佈時頻分析圖。


喬伊-威廉斯(Choi-Williams)[编辑]

File:400px-Cone shape 2.jpg
喬伊-威廉斯時頻分析圖
當Cohen's class分佈中的\Phi \left(\eta,\tau \right)=exp[-\alpha(\eta\tau)^2]時,Cohen's class分佈會成喬伊-威廉斯分布。
右圖為不同的\alpha值下的錐狀分佈時頻分析圖。



Cohen's class分佈優缺點[编辑]

優點:
1.可選擇適當的遮罩函數來避免掉交叉項問題 。
2.具有高清晰度。
缺點
1. 需要較高的計算量與時間。
2. 缺乏良好的數學特性。

Cohen's class分佈的實現[编辑]

C_x(t, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}A_x(\eta,\tau)\Phi(\eta,\tau)\exp (j2\pi(\eta t-\tau f))\, d\eta\, d\tau,
=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi u\eta+j2\pi(\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta

簡化方法一:不是所有的A_x(\eta,\tau)的值都要計算出[编辑]

\ \left|\eta\right|>B\ \ \left|\tau\right|>C,若\Phi(\eta,\tau)=0,則C_x(t, f)=\int_{-C}^{C}\int_{-B}^{B}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi u\eta+j2\pi(\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta

簡化方法二:注意,\eta這個參數和輸入及輸出都無關[编辑]

C_x(t, f)=\int_{-C}^{C}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})[\int_{-B}^{B}\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi,\eta(t-u)}d\eta]e^{-j2\pi\tau,f}dud\tau
=\int_{-C}^{C}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\Phi(\tau,t-u)e^{-j2\pi\tau,f}dud\tau,其中
\Phi(\tau,t-u)=\int_{-B}^{B}\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi,\eta(t-u)}d\eta,由於\Phi(\tau,t-u)和輸入無關,可事先算出,因此可簡化成兩個積分式。

簡化方法三:使用摺積方法(convolution)[编辑]

C_x(t, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\phi(t-u,\tau)due^{-j2\pi f\tau}d\tau,其中
\phi(t,\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(\eta,\tau)exp(j2\pi\eta t)d\eta。對\left|t\right|>b或是\left|\tau\right|>c,則
C_x(t, f)=\int_{-c}^{c}\int_{t-b}^{t+b}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\phi(t-u,\tau)due^{-j2\pi f\tau}d\tau,上式為一摺積式。

參考[编辑]

  • Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.