科恩-麥考利環

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

交換代數中,Cohen-Macaulay環是對應到一類代數幾何性質(例如局部等維性)的交換環

此概念依數學家弗朗西斯·索尔比·麦考利Francis Sowerby Macaulay)與欧文·索尔·科恩Irvin S. Cohen) 命名,麦考利(1916年)證明了多項式環純粹性定理,科恩(1946年)則證明了冪級數環的情形;事實上所有Cohen-Macaulay環都具純粹性。

形式定義[编辑]

若交換局部環 (R,\mathfrak{m}) 滿足 \mathrm{depth}_\mathfrak{m}(R) = \dim R,其中 depth 表深度而 dim 表克鲁尔维数,則稱之為Cohen-Macaulay環。此性質在局部化之下不變。

一般而言,若交換環 R 對所有素理想的局部化皆為Cohen-Macaulay環,則稱之為Cohen-Macaulay 環

若一個概形的所有局部環皆為Cohen-Macaulay環,稱之為Cohen-Macaulay概形

例子[编辑]

  • 正則局部環皆為 Cohen-Macaulay 環。
  • Gorenstein環皆為 Cohen-Macaulay,其中重要的特例是完全交環
  • 有理奇點對應到 Cohen-Macaulay 環,卻不一定是 Gorenstein 環。
  • 阿廷環皆為 Cohen-Macaulay 環。
  • k冪級數k[[t]] 的一維子環 k[[t^2,t^5]] 並非正則環,而仍屬 Gorenstein 環。
  • 承上,k[[t^3, t^4, t^5]] 並非 Gorenstein 環,而仍屬 Cohen-Macaulay 環。
  • 一般而言,任何一維的諾特整環都是 Cohen-Macaulay 環。

幾何詮釋[编辑]

Cohen-Macaulay 條件的一種詮釋見諸凝聚對偶性,其中模的「對偶化對象」本屬於某個導範疇,當考慮的環是 Cohen-Macaulay 環時,該對象可由某個模代表。Gorenstein 條件則更精細,它斷言此對偶對象由可逆層代表。正則性最強,它對應於交換環譜在該點的平滑性。就幾何觀點,Gorenstein 與 Cohen-Macaulay 條件是平滑性的逐步推廣,在此框架下可以證明較廣的幾何定理。

純粹性定理[编辑]

R諾特環I \subset R 為其理想。若對每個 R/I相伴素理想 \mathfrak{p} 皆有 \mathrm{ht}(I)=\mathrm{ht}(\mathfrak{p}),則稱 I純粹的。若每個能由 \mathrm{ht}(I) 個元素生成之理想 I 都是純粹的,則稱 R 滿足純粹性定理。一個諾特環 R 滿足純粹性定理若且唯若它是 Cohen-Macaulay 環。

文獻[编辑]

外部連結[编辑]