秩－零化度定理

在线性代数中，秩-零化度定理给出了一个线性变换或一个矩阵的秩(rank)和零化度 (nullity) 之间的关系。对一个元素在域 F 中的$m \cdot n$矩阵，有：

rank A + nullity A = n

同样的，对于一个从 F 线性空间 V 射到 F 线性空间 W 的线性变换 T ：T : V → W ， T 的秩是它的象的维度，T 的零化度是它的核（零空间）的维度。我们有：

dim (im T) + dim (ker T) = dim V

也就是：

rank T + nullity T = dim V

实际上定理在更广的范围内也成立，因为V 和 F 可以是无限维的。

证明

证明的方法基于线性空间的基和同构。

设 V 是一个有限维线性空间， dim V = n，对一个从V 射到 F 的线性变换 T，ker T 是 V 的一个子空间。设 $\mathfrak{B}_k = \left( e_1, e_2 \cdots , e_p \right)$是 ker T 的一组基（ p ≤ n ）。根据基扩充定理，$\mathfrak{B}_k$可以被扩充为 V 的一组基：$\mathfrak{B} = \left( e_1, e_2 \cdots , e_n \right)$。 $\left( e_{p+1}, \cdots , e_n \right)$ 是一组线性无关的向量，设 H 是它们张成的子空间，那么 V 是 ker T 与 H 的直和：

$V = ker T \oplus H$

所以，按照直和的性质，有 dim (H) + dim (ker T) = dim V，并且$ker (T) \cap H = \left\{ 0 \right\}$，同时，$\forall u \in V,\ u = a + b$，其中$a \in ker(T),\ b \in H$。考虑T限制在 H 上到 im T 的线性变换$\hat{T}$：

$\hat{T} : H \to Im(T)$

$u \mapsto T(u)$

下证$\hat{T}$是一个双射：

1. $\hat{T}$是一个单射，因为$\forall u,v \in H$， $T(u)=T(v) \Rightarrow T(u-v)=0 \Rightarrow u-v \in H \cap ker (T) \Rightarrow u-v=0 \Rightarrow u=v$。
2. $\hat{T}$是一个满射，因为$\forall v \in Im(T)$， $\exists u \in H ,\ v = T(u)$，而且$u =\ a+b$ ，其中$a \in ker(T),\ b \in H$。 于是 $v =T(u)= T(a+b)=T(a)+T(b)\ =T(b)$，其中$b \in H$，所以$\hat{T}$是一个满射。

于是$\hat{T}$是一个H 到 im T 的同构，所以

dim (H) = dim ( Im (T))

综上所述，即有：

dim (im T) + dim (ker T) = dim V

也就是：

rank T + nullity T = dim V

其他表达形式及推广

正合列

秩-零化度定理是抽象代数中的同态基本定理在线性空间上的表现形式。如果用更现代的语言，定理可以表示为：如果

0 → U → V → R → 0

是线性空间中的一个短正合列，那么有：

dim(U) + dim(R) = dim(V)

其中 R 表示 im T， U 表示 ker T。

在有限维的情况下，上式可以作进一步推广。如果

0 → V₁ → V₂ → ... → V_r → 0

是有限维线性空间中的一个正合列，那么有：

$\sum_{i=1}^r (-1)^i\dim(V_i) = 0.$

在有限维线性空间中，秩-零化度定理还可以用线性变换的指标（index）描述。线性变换的指标指的是，对于线性变换T : V → W：

index T = dim(ker T) - dim(coker T)

其中 coker T 表示 T 的余核。正如 ker T 表示方程 Tx = 0 线性无关的解的“个数”， coker T 表示使得方程 Tx = y 有解而必须加于 y 的限制条件的个数。

这时秩-零化度定理表述为：

index T = dim(V) - dim(W)

可以看到，在这种表述下，我们可以很容易地得到 T 的指标，而不必对 T 作深入研究。更深入的结果可以参见Atiyah–Singer指标定理（en:Atiyah-Singer index theorem）。Atiyah–Singer指标定理说明某些微分算子的指标可以通过涉及的空间的几何性质得到。

参见

• 线性空间
• 秩
• 同构基本定理