积分
| 微积分学 | ||||||||||||
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函数 · 导数 · 微分 · 积分
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积分是微积分学与数学分析的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数 f(x) ， f(x) 在一个实数区间[a,b]上的定积分
可以理解为在Oxy坐标平面上，由曲线 (x,f(x)) 、直线x = a,x = b 以及 x 轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。
f 的不定积分（或称原函数）是任何函数 F ，它的导函数是函数 f ；不定积分不是唯一的：只要 F 是 f 的不定积分，那么 F + C 也是（C为常数），但除此以外， f 也没有別的不定积分了，因此 f 的不定积分在相差一个常数的意义下唯一。
下文提到的“积分”一词都指定积分。
积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用。
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目「黎曼积分」）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。
对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多重要的物理定律中，尤其是电动力学。现代的积分概念基于测度论，主要是由昂利·勒貝格建立的勒贝格积分。
[编辑] 术语和表记
如果一个函数的积分存在，就说这个函数是可积的，这个函数叫做被积函数。进行积分的区域叫做积分域。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。
一般来说，对于只有一个变量 x的实值函数 f ， f在闭区间 [a,b]上的积分记作
积分号
，一个拉长的S（summa：求和的首字母），用来表示积分，a和b分别是积分的积分下限和积分上限。dx 则可以表示不同的含义，可以只表示x是f 中要进行积分的那个变量（积分变量），在黎曼积分中表示分割区间的标记，在勒贝格积分中表示一个测度，或仅仅是一个独立的量（微分形式）。
对于一般的区间 J,J上的积分可以记作
如果变量不只一个，比如说在二重积分中，函数 
在区域 D 上的积分记作
或者 
或者 
其中 dσ 与区域 D 对应，是相应积分域中的微分元。
= − a / 6(a − b)3當ax2 + bx + c = 0
[编辑] 积分的种类
[编辑] 參見
